USACO 1.2.5 Dual Palindromes 双重回文数

本博客介绍了一个算法,用于查找大于给定值且在两种或两种以上进制下为回文数的十进制数,涉及双进制转换与回文数判断。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

Dual Palindromes
Mario Cruz (Colombia) & Hugo Rickeboer (Argentina)

A number that reads the same from right to left as when read fromleft to right is called a palindrome. The number 12321 is a palindrome;the number 77778 is not. Of course, palindromes have neither leadingnor trailing zeroes, so 0220 is not a palindrome.

The number 21 (base 10) is not palindrome in base 10, but thenumber 21 (base 10) is, in fact, a palindrome in base 2 (10101).

Write a program that reads two numbers (expressed in base 10):

  • N (1 <= N <= 15)
  • S (0 < S < 10000)
and then finds and prints (in base 10) the first N numbers strictlygreater than S that are palindromic when written in two or morenumber bases (2 <= base <= 10).

Solutions to this problem do not require manipulating integerslarger than the standard 32 bits.

PROGRAM NAME: dualpal

INPUT FORMAT

A single line with space separated integers N and S.

SAMPLE INPUT (file dualpal.in)

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OUTPUT FORMAT

N lines, each with a base 10 number that is palindromic when expressedin at least two of the bases 2..10. The numbers should be listedin order from smallest to largest.

SAMPLE OUTPUT (file dualpal.out)

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解题思路:

                 该题要求我们,编一个程序,读入两个十进制数N (1 <= N <= 15)、S (0 < S < 10000),然后找出前N个满足大于S且在两种或两种以上进制(二进制至十进制)上是回文数的十进制数,并输出。其基本思路仍然等同与前一道回文数问题,所不同的是,我们要转换的进制中可能会有10--20进制,这就会用到9以上数字A、B、C......显然,整型数组已不能满足,那么我们就要用字符数组,而余数也处理成字符型。同样满足的数据要有两种或两种以上进制满足是回文数,同样从2进制转换到20进制依次进行,用一个变量记录满足情况,若大于2则跳出循环并输出。双重循环嵌套,复杂度O(nlogMn)。

代码如下:

  

### USACO P1217 Prime Palindromes 的 Java 实现 以下是基于枚举方法并结合回文数构造的方式实现的一个高效解决方案。此方案利用了回文数的特性以及质数判断算法,从而避免了大量的冗余计算。 #### 方法概述 为了提高效率,可以先生成给定范围内所有的回文数,再逐一验证这些回文数是否为质数。这种方法显著减少了需要测试的数量,因为大多数非回文数可以直接排除[^4]。 #### AC代码 (Java) ```java import java.util.ArrayList; import java.util.List; import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); int a = scanner.nextInt(); int b = scanner.nextInt(); List<Integer> result = findPalindromePrimes(a, b); for (int num : result) { System.out.println(num); } } private static boolean isPrime(int n) { if (n < 2) return false; if (n == 2 || n == 3) return true; // 特殊情况处理 if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0) return false; for (int i = 5; i * i <= n; i += 6) { // 跳过偶数和能被3整除的数 if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) return false; } return true; } private static List<Integer> generatePalindromes(int length) { List<Integer> palindromes = new ArrayList<>(); if (length == 1) { for (int i = 0; i <= 9; i++) { palindromes.add(i); } return palindromes; } int halfLength = (length + 1) / 2; int start = (int) Math.pow(10, halfLength - 1); int end = (int) Math.pow(10, halfLength); for (int prefix = start; prefix < end; prefix++) { String s = Integer.toString(prefix); StringBuilder sb = new StringBuilder(s); if (length % 2 == 0) { sb.append(new StringBuilder(s).reverse()); } else { sb.append(new StringBuilder(s.substring(0, s.length() - 1)).reverse()); } palindromes.add(Integer.parseInt(sb.toString())); } return palindromes; } private static List<Integer> findPalindromePrimes(int a, int b) { List<Integer> primes = new ArrayList<>(); for (int len = 1; len <= 8 && Math.pow(10, len - 1) <= b; len++) { List<Integer> candidates = generatePalindromes(len); // 构造长度为len的所有回文数 for (int candidate : candidates) { if (candidate >= a && candidate <= b && isPrime(candidate)) { primes.add(candidate); } } } return primes; } } ``` --- #### 关键点解释 1. **回文数生成逻辑**: 使用 `generatePalindromes` 函数动态生成指定长度的回文数。对于奇数长度的回文数,中间字符不重复;而对于偶数长度,则完全对称。 2. **质数检测优化**: 利用了跳过偶数和能被3整除的数的方法,并进一步缩小循环范围至平方根级别 \( \sqrt{n} \)。 3. **边界条件处理**: 需要特别注意上下界 `[a, b]` 和最大可能值 \(10^8\) 的约束条件[^2]。 --- #### 时间复杂度分析 由于只针对回文数进行质数检验,而且回文数数量远少于总自然数数量,因此该算法的时间复杂度相较于暴力解法大幅降低。具体时间复杂度取决于区间大小和回文数分布密度。 ---
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