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当所有的静态查找结构添加和删除一个数据的时候,整个结构都需要重建。这对于常常需要在查找过程中动态改变数据而言,是灾难性的。因此人们就必须去寻找高效的动态查找结构,我们在这讨论一个非常常用的动态查找树——二叉查找树 。
二叉查找树的特点
下面的图就是两棵二叉查找树,我们可以总结一下他的特点:
(1) 若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值
(2) 若它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值
(3) 它的左、右子树也分别为二叉查找树
我们中序遍历这两棵树发现一个有序的数据序列: 【1 2 3 4 5 6 7 8 】
二叉查找树的操作
插入操作:
现在我们要查找一个数9,如果不存在则,添加进a图。我们看看二叉查找树动态添加的过程:
1). 数9和根节点4比较(9>4),则9放在节点4的右子树中。
2). 接着,9和节点5比较(9>5),则9放在节点5的右子树中。
3). 依次类推:直到9和节点8比较(9>8),则9放在节点8的右子树中,成为节点8的右孩子。
这个过程我们能够发现,动态添加任何一个数据,都会加在原树结构的叶子节点上,而不会重新建树。 由此可见,动态查找结构确实在这方面有巨大的优势。
删除操作:
如果二叉查找树中需要删除的结点左、右子树都存在,则删除的时候需要改变一些子树结构,但所需要付出的代价很小。
具体的插入,删除算法请参加《数据结构算法与应用——搜索树》P5-8。[该章节已经上传到《查找结构专题(6):动态查找树比较 》中]。
二叉查找树的效率分析
那么我们再来看看二叉查找树的效率问题
很显然,在a,b两图的二叉查找树结构中查找一个数据,并不需要遍历全部的节点元素,查找效率确实提高了。但是有一个很严重的问题:我们在a图中查找8需要比较5次数据,而在B图中只需要比较3次。更为严重的是:如果按有序序列[1 2 3 4 5 6 7 8]建立一颗二叉查找树,整棵树就退化成了一个线性结构(如c输入图:单支树),此时查找8需要比较8次数据,和顺序查找没有什么不同。
总结一下:最坏情况下,构成的二叉排序树蜕变为单支树,树的深度为n,其查找时间复杂度与顺序查找一样O(N)。最好的情况是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同,其平均查找长度和log2(N)成正比 (O(log2(n)))。
这说明:同样一组数据集合,不同的添加顺序会导致查找树的结构完全不一样,直接影响了查找效率。
那么如何解决这个问题呢? 我们会在下面的专题中:《平衡二叉树》 中来解决。
下面是java实现的二叉查找树(说句老实话,没有指针的java实现数据结构真是复杂):
Java代码