线段树

假设有编号从1到n的n个点，每个点都存了一些信息，用[L,R]表示下标从L到R的这些点。

线段树的用处就是，对编号连续的一些点进行修改或者统计操作，修改和统计的复杂度都是O(log2(n)).

线段树的原理，就是，将[1,n]分解成若干特定的子区间(数量不超过4*n),然后，将每个区间[L,R]都分解为

少量特定的子区间，通过对这些少量子区间的修改或者统计，来实现快速对[L,R]的修改或者统计。

开始时是区间[1,n] ,通过递归来逐步分解，假设根的高度为1的话，树的最大高度为（n>1）。

线段树对于每个n的分解是唯一的，所以n相同的线段树结构相同，这也是实现可持久化线段树的基础。

下图展示了区间[1,10]的分解过程：

(1)线段树的点修改：

假设要修改[5]的值，可以发现，每层只有一个节点包含[5],所以修改了[5]之后，只需要每层更新一个节点就可以线段树每个节点的信息都是正确的，所以修改次数的最大值为层数。

复杂度O(log2(n))

(2)线段树的区间查询：

线段树能快速进行区间查询的基础是下面的定理：

定理：n>=3时，一个[1,n]的线段树可以将[1,n]的任意子区间[L,R]分解为不超过个子区间。

这样，在查询[L,R]的统计值的时候，只需要访问不超过个节点，就可以获得[L,R]的统计信息，实现了O(log2(n))的区间查询。

(3)线段树的存储结构：

线段树是用数组来模拟树形结构，对于每一个节点R ,左子节点为 2*R (一般写作R<<1)右子节点为 2*R+1（一般写作R<<1|1）

然后以1为根节点，所以，整体的统计信息是存在节点1中的。左子树的节点标号都是根节点的两倍，右子树的节点标号都是左子树+1