多元线性回归

原创于 2017-03-04 14:34:14 发布 · 1.7k 阅读

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多元线性回归的基本原理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由于自变量个数多，计算相当麻烦，一般在实际中应用时都要借助统计软件。介绍多元线性回归的一些基本问题。但由于各个自变量的单位可能不一样，比如说一个消费水平的关系式中，工资水平、受教育程度、职业、地区、家庭负担等等因素都会影响到消费水平，而这些影响因素（自变量）的单位显然是不同的，因此自变量前系数的大小并不能说明该因素的重要程度，更简单地来说，同样工资收入，如果用元为单位就比用百元为单位所得的回归系数要小，但是工资水平对消费的影响程度并没有变，所以得想办法将各个自变量化到统一的单位上来。前面学到的标准分就有这个功能，具体到这里来说，就是将所有变量包括因变量都先转化为标准分，再进行线性回归，此时得到的回归系数就能反映对应自变量的重要程度。这时的回归方程称为标准回归方程，回归系数称为标准回归系数，表示如下：

Zy= β1Z*1 + β2Z*2 + … + βkZ*k

多元线性方程，一般采用矩阵来表示，因此在求多元线性方程的最小化函数时，就需要对矩阵进行求导，这个求导过程，NG已经给出了，如下：

最终求出来的公式如下：

这个公式也叫正规方程，它需要求解矩阵，所以数据比较多时，就比较慢。下面来给出一个计算简单线性回归的矩阵求法，假如数据：

（1，6），（2，5），（3，7)和（4， 10）

计算代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
input = np.array([
    [1, 6],
    [2, 5],
    [3, 7],
    [4, 10]
])
m = len(input)
X = np.array([np.ones(m), input[:, 0]]).T
y = np.array(input[:, 1]).reshape(-1, 1)
betaHat = np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(X.T).dot(y)
print(betaHat)

plt.figure(1)
xx = np.linspace(0, 5, 2)
yy = np.array(betaHat[0] + betaHat[1] * xx)
plt.plot(xx, yy.T, color='b')
plt.scatter(input[:, 0], input[:, 1], color='r')
plt.show()

输出结果：