回溯法求解N皇后问题。

最新推荐文章于 2024-10-10 15:13:32 发布

caimo

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分类专栏： C/C++ 文章标签： N皇后算法

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N皇后问题就是：不存在两个皇后同行或同列，或在同一斜线上。如下图所示。黑色块表示其中一个皇后放在了第二行，第三列。这时，只有绿色圈圈才能放其他的皇后。

回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。换句话说，这个结点不再是一个活结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。

看看如何用回溯法解N皇后问题。首先找出解空间：给棋盘的行和列都编上1到N的号码，皇后也给编上1到N的号码。由于一个皇后应在不同的行上，为不失一般性，可以假定第i个皇后将放在第i行上的某列。因此N皇后问题的解空间可以用一个N元组（X1，X2，.....Xn）来表示，其中Xi是放置皇后i所在的列号。这意味着所有的解都是N元组（1，2，3，.......，N）的置换。解空间大小为N！。其次我们看约束条件：因为解空间已经给我们排除了不在同一行（因为每个皇后分别已经对应不同的行号）的约束条件。我们要判断的是不在同一列和不在同一斜线的约束。因为Xi表示皇后所在的列号，所以第k个皇后和第i个皇后同列的判断条件是X（k）=X（i）。所以不同列的判段条件是X（k）！=X（i），1<k<i 。又因为同一斜线的特征是要么行号和列号之和不变（右高左低）要么是行号和列号只差相等（左高右低），所以第k个皇后和第i个皇后在同斜线的判断条件是 i+X（i）= k+X（k) 或 i-X(i) =k-X(k),两式合并得 |X(i)-X(k)|=|i-k| 。

编程基本思路：X(j)表示一个解的空间，j表示行数，里面的值表示可以放置在的列数，抽象约束条件得到能放置一个皇后的约束条件(1)X(i)!=X(k);(2)abs(X(i)-X(k))!=abs(i-k)。应用回溯法，当可以放置皇后时就继续到下一行，不行的话就返回到第一行，重新检验要放的列数，如此反复，直到将所有解解出。

#include<stdio.h>   
#include<math.h>
using namespace std;
#define N 60   

int sum = 0; //可行解个数   
int x[N]; //皇后放置的列数  (预留的空间) 
  
  
bool isPlaceAble(int queenAtRow)   
{   
    int i;   
    for(i=1;i<queenAtRow;i++)   
    {
		if(abs(queenAtRow-i)==abs(x[queenAtRow]-x[i]) || x[queenAtRow] == x[i])   
        {
			return false;   
		}
	}
    return true;   
}   
  
  
int queen(int queenAtRow,int n)   
{   
    if( queenAtRow>n && n>0) //当放置的皇后超过n时，可行解个数加1，此时n必须大于0   
    {
		  sum++;   
	}
    else  
	{
      for(int i=1;i<=n;i++)   
      {   
          x[queenAtRow] = i; //标明第t个皇后放在第i列   
          if(isPlaceAble(queenAtRow)) //如果可以放在某一位置，则继续放下一皇后   
           {
			   queen(queenAtRow+1, n);    
		  }
      }   
	}
    return sum;   
}   


/*
功能: 求解放置N皇后方案的个数。
输入：
     皇后个数   
返回：
    int：放置N皇后方案的个数
*/

int NQueen(int n)
{
	if( n==0 )
	{
		return 0;
	}

    int methodNum = queen(1, n);

    return methodNum;
}
int main()
{ 
	 
    int  sum;

    sum = NQueen(5);
	
    cout<<sum<<endl;



  system("pause");

	return 0;
}

最后给一个解法的动态图：