背包九讲4——二维背包问题的理解（Java图解）_二维背包问题递归式-优快云博客

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二维背包问题

问题

二维费用的背包问题是指：对于每件物品，具有两种不同的费用；选择这件物品必须同时付出这两种代价；对于每种代价都有一个可付出的最大值（背包容量）。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为代价1和代价2，第i件物品所需的两种代价分别为a[i]和b[i]。两种代价可付出的最大值（两种背包容量）分别为V和U。物品的价值为w[i]。

算法

费用加了一维，只需状态也加一维即可。设f[i][v][u]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值。状态转移方程就是：

f[i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}

如前述方法，可以只使用二维的数组：当每件物品只可以取一次时变量v和u采用逆序的循环，当物品有如完全背包问题时采用顺序的循环。当物品有如多重背包问题时拆分物品。这里就不再给出伪代码了，相信有了前面的基础，你能够自己实现出这个问题的程序。

物品总个数的限制

有时，“二维费用”的条件是以这样一种隐含的方式给出的：最多只能取M件物品。这事实上相当于每件物品多了一种“件数”的费用，每个物品的件数费用均为1，可以付出的最大件数费用为M。换句话说，设f[v][m]表示付出费用v、最多选m件时可得到的最大价值，则根据物品的类型（01、完全、多重）用不同的方法循环更新，最后在f[0..V][0..M]范围内寻找答案。

小结

当发现由熟悉的动态规划题目变形得来的题目时，在原来的状态中加一纬以满足新的限制是一种比较通用的方法。希望你能从本讲中初步体会到这种方法。

二维背包模板代码：

//N为物品数目
//W为背包所承载的最大重量
//V为背包所承载的最大容量
//weights[]为每个物品的重量
//volume[]为每个物品的体积
//values[]为每个物品的价值
public int twoDimensionKnapack(int N, int W, int V, int[] weights, int[] volume, int[] values ){
    int[][] dp = new int[W+1][V+1];
    
    for(int i = 1; i <= N; i++){
        int w = weights[i-1], vi = volume[i-1], v = values[i-1];
        for(int j = W; j >= w; j--){
            for(int k = V; k >= vi; k--){
                dp[j][k] = Math.max(dp[j][k], dp[j-w][k-vi]+v);
            }
        }
    }
    return dp[W][V];
}