cf645F 数论

最新推荐文章于 2022-07-28 21:08:19 发布

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本文介绍了一道名为CF645F的算法题目及其解答思路，通过数学方法求解给定序列中所有k元组的gcd之和。利用欧拉函数的性质进行预处理，并采用动态更新的方法优化计算效率。

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题目链接

cf645F

题意

给定长度为n的序列，每次询问向序列中加入一个数，询问序列中所以k元组的gcd之和。

题解

记S表示所以k元组的集合，我们要求的就是

∑s∈S gcd(s)= ∑s∈S ∑d|gcd(s) ϕ(d)

=∑d ϕ(d)∗ ∑s∈S [(g)cd(s)=d] =∑d ϕ(d)∗C(k,s[d])

由欧拉函数的性质 m=sigma(phi(d)),d|mm=sigma(phi(d)),d|m

其中ϕ(d)表示d的欧拉函数值，s[d]表示含有因子d的数的个数。我们可以预处理出这两个值。
先处理出初始答案，对于每一次询问我们只需要O(因子个数)的时间就能动态更新答案。

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mo=1000000007,N=1000010;
int n,m,k,ans,a[N],s[N];
int p[N],pn,f[N],phi[N],inv[N],fac[N];

int power(long long x,int y){
    int tmp=1;
    for(;y;y>>=1,x=x*x%mo)
    if(y&1) tmp=tmp*x%mo;
    return tmp;
}
void init(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=1000000;i++){
        if(!f[i]) p[++pn]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=pn&&p[j]*i<=1000000;j++){
            f[p[j]*i]=1;
            if(i%p[j]==0){
                phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];
                break;
            }
            phi[i*p[j]]=(p[j]-1)*phi[i];
        }
    }
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=1000000;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mo;
    inv[1000000]=power(fac[1000000],mo-2);
    for(int i=999999;~i;i--) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mo;
}
long long C(int n,int m){
    if(n<m) return 0;
    return 1ll*fac[n]*inv[n-m]%mo*inv[m]%mo;
}
void calc(int x){
    ans=(ans-phi[x]*C(s[x],k))%mo;
    s[x]++;
    ans=(ans+phi[x]*C(s[x],k))%mo;
    if(ans<0) ans+=mo;
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&k,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i);
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j*j<=a[i];j++)
     if(a[i]%j==0){
        s[j]++;
        if(j*j!=a[i]) s[a[i]/j]++;
     }
    init();
    for(int i=1;i<=1000000;i++)
    ans=(ans+phi[i]*C(s[i],k))%mo;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d",&a[1]);
        for(int j=1;j*j<=a[1];j++)
        if(a[1]%j==0){
            calc(j);
            if(j*j!=a[1]) calc(a[1]/j);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}