高精度计算详解-优快云博客

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前言:由于计算机运算是有模运算,数据范围的表示有一定限制,如整型int(C++中int 与long相同)表达范围是(-2^31~2^31-1),unsigned long(无符号整数)是(0~2^32-1),都约为几十亿.如果采用实数型,则能保存最大的double只能提供15~16位的有效数字,即只能精确表达数百万亿的数.因此,在计算位数超过十几位的数时,不能采用现有类型,只能自己编程计算.
高精度计算通用方法:高精度计算时一般用一个数组来存储一个数,数组的一个元素对应于数的一位(当然,在以后的学习中为了加快计算速度,也可用数组的一个元素表示数的多位数字,暂时不讲),表示时,由于数计算时可能要进位,因此为了方便,将数由低位到高位依次存在数组下标对应由低到高位置上,另外,我们申请数组大小时,一般考虑了最大的情况,在很多情况下,表示有富余,即高位有很多0,可能造成无效的运算和判断,因此,我们一般将数组的第0个下标对应位置来存储该数的位数.如数:3485(三千四百八十五)，表达在数组a[10]上情况是:
下标　　0  　 1　   2   　3   　　4 　  5    6    7    8    9
内容　　4   　5  　 8   　4   　　3  　 0    0    0    0    0
说明：位数   个位  十位  百位　千位
具体在计算加减乘除时方法就是小学时采用的列竖式方法．
注：高精度计算时一般用正数，对于负数，通过处理符号位的修正．
一．高精度数的存储
１．如对数采用的字符串输入

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=100;//最多100位
int main()
{
    int a[N+1],i;
    string s1;
    cin>>s1;//数s1
    memset(a,0,sizeof(a)); //数组清0
    a[0]=s1.length(); //位数
    for(i=1; i<=a[0]; i++) a[i]=s1[a[0]-i]-'0'; //将字符转为数字并倒序存储．
    return 0;
}

2.直接读入

#include <iostream>
using namespace std;
const int N=100;//最多100位
int main()
{
    int a[N+1],i,s,key;
    cin>>key;//数key
    memset(a,0,sizeof(a)); //数组清0
    i=0;//第0位
    while(key)  //当key大于0
    {
        a[++i]=key%10;//取第i位的数
        key=key/10;
    }
    a[0]=i; //共i位数
    return 0;
}

3.直接初始化(用a[]存储)
初始化为0: memset(a,0,sizeof(a));
初始化为1: memset(a,0,sizeof(a));a[0]=1;a[1]=1;
以下程序都只写函数，不写完整程序，所有高精度数存储都满足上述约定。

二.高精度数比较

int compare(int a[],int b[])   //比较a和b的大小关系，若a>b则为1，a<b则为-1,a=b则为0
{
    int i;
    if (a[0]>b[0]) return 1;//a的位数大于b则a比b大
    if (a[0]<b[0]) return -1;//a的位数小于b则a比b小
    for(i=a[0]; i>0; i--) //从高位到低位比较
    {
        if (a[i]>b[i]) return 1;
        if (a[i]<b[i]) return -1;
    }
    return 0;//各位都相等则两数相等。
}

三、高精度加法

void Plus(int a[],int b[]) //计算a=a+b
{
    int i,k;
    k=a[0]>b[0]?a[0]:b[0]; //k是a和b中位数最大的一个的位数
    for(i=1; i<=k; i++)
    {
        a[i+1]+=(a[i]+b[i])/10;  //若有进位，则先进位
        a[i]=(a[i]+b[i])%10;
    }  //计算当前位数字,注意：这条语句与上一条不能交换。
    if(a[k+1]>0) a[0]=k+1;  //修正新的a的位数（a+b最多只能的一个进位）
    else a[0]=k;
}

四、高精度减法

int gminus(int a[],int b[]);//计算a=a-b，返加符号位0:正数 1:负数
{
    int flag,i
    flag=compare(a,b); //调用比较函数判断大小
    if (falg==0)//相等
    {
        memset(a,0,sizeof(a));    //若a=b，则a=0,也可在return前加一句a[0]=1,表示是 1位数0
        return 0;
    }
    if(flag==1) //大于
    {
        for(i=1; i<=a[0]; i++)
        {
            if(a[i]<b[i])
            {
                a[i+1]--;    //若不够减则向上借一位
                a[i]+=10;
            }
            a[i]=a[i]-b[i];
        }
        while(a[a[0]]==0) a[0]--; //修正a的位数
        return 0;
    }
    if (flag==-1)//小于  则用a=b-a,返回-1
    {
        for(i=1; i<=b[0]; i++)
        {
            if(b[i]<a[i])
            {
                b[i+1]--;    //若不够减则向上借一位
                b[i]+=10;
            }
            a[i]=b[i]-a[i];
        }
        a[0]=b[0];
        while(a[a[0]]==0) a[0]--; //修正a的位数
        return -1;
    }
}

五、高精度乘法1(高精度乘单精度数，单精度数是指通常的整型数)

void Mul(int a[],long key) //a=a*key,key是单精度数
{
    int i,k;
    if (key==0)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));    //单独处理key=0
        a[0]=1;
        return 0;
    }
    for(i=1; i<=a[0]; i++)a[i]=a[i]*key; //先每位乘起来
    for(i=1; i<=a[0]; i++)
    {
        a[i+1]+=a[i]/10;    //进位
        a[i]%=10;
    }
//注意上一语句退出时i=a[0]+1
    while(a[i]>0)
    {
        a[i+1]=a[i]/10;    //继续处理超过原a[0]位数的进位,修正a的位数
        a[i]=a[i]%10;
        i++;
        a[0]++;
    }
}

六、高精度乘法2(高精度乘高精度)

void Mul2(int a[],int b[])
{
    int c[1000];
    memset(c, 0, sizeof(c));
    c[0] = a[0]+b[0]-1;
    for(int i=1; i<=a[0]; i++)
        for(int j=1; j<=b[0]; j++)
            c[i+j-1] += a[i]*a[j];

    for(i=1; i<=c[0]; i++)
    {
        c[i+1]+=c[i]/10;    //进位
        c[i]%=10;
    }

    while(c[i]>0)
    {
        c[i+1]=c[i]/10;    //继续处理超过原c[0]位数的进位,修正c的位数
        c[i]=c[i]%10;
        i++;
        c[0]++;
    }
}

【C++高精度算法】