15、神经网络求解偏微分方程的计算实验结果

神经网络求解偏微分方程的计算实验结果

1. 算法概述

1.1 第一类算法

第一类算法主要涉及两个神经网络 (u_{1N_1}) 和 (u_{2N_2}) 的训练过程，具体步骤如下：
1. 边界条件与测试点选取 ：仅在边界的部分区域使用边界条件来指定相应的误差泛函 (J_1) 和 (J_2)，测试点集仅取自已知边界条件的边界部分。
2. 神经网络训练 ：经过一定阶段的训练后，在每个子区域的边界上对未知部分的边界条件产生近似。
3. 数据交换 ：由于子区域 (\Pi_1) 和 (\Pi_2) 边界上未给出解的部分的信息（神经网络解释下的经典 Schwarz 方法），将额外项引入到每个误差泛函中，该信息是在另一个子区域上构建的解。
4. 重复计算 ：重复计算过程指定的次数，或直到达到所需的精度。

此外，对该算法进行了改进，在步骤 3 中，将 (u_{1N_1}) 和 (u_{2N_2}) 在 (Q_{0,d}=\Pi_1\cap\Pi_2) 处的不匹配信息引入误差泛函 (J_1) 和 (J_2)，在数值实验中使用该方法，当使用 (N_1 = N_2 = 32) 的两个网络时，最大误差不超过 0.1。

1.2 第二类算法

第二类算法实现了三种进化方法，基于两个网络的集成训练方法取得了最佳结果，使用 12 个神经元的网络时可达到 0.1 的精度。

2. 具体问题求解

2.1 泊松问题

在