6、数学基础：组合计数、阶乘与整数除法余数

数学基础：组合计数、阶乘与整数除法余数

1. 组合计数问题

设 (n) 为正整数，集合 (S) 包含 (n) 个元素，标记为 (x_1, x_2, \cdots, x_n)，(k) 为小于 (n) 的正整数。下面是相关的组合计数问题：
- 构造大小为 (k) 的子集的方法数 ：这是一个经典的组合问题，答案是 (C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!})。
- 构造包含最后一个元素 (x_n) 且大小为 (k) 的子集的方法数 ：相当于从剩下的 (n - 1) 个元素中选 (k - 1) 个元素，方法数为 (C_{n - 1}^{k - 1})。
- 构造包含 (x_{n - 1}) 但不包含 (x_n) 且大小为 (k) 的子集的方法数 ：从除 (x_n) 外的 (n - 1) 个元素中选，且必须选 (x_{n - 1})，所以是从剩下的 (n - 2) 个元素中选 (k - 1) 个元素，方法数为 (C_{n - 2}^{k - 1})。
- 构造包含 (x_{n - 2}) 但不包含 (x_{n - 1}) 和 (x_n) 且大小为 (k) 的子集的方法数 ：从除 (x_{n - 1}) 和 (x_n) 外的 (n - 2) 个元素中选，且必须选 (x_{n - 2})，即从剩下的 (n - 3) 个元素中选 (k - 1) 个元素，方法数为 (C_{n - 3}^{k - 1})。
- 构造包含 (x_{k + 1}) 但不包含 (x_{k + 2}, \cdots, x_n)