56、线性代数在计算机视觉中的应用：矩阵微积分与常见问题解析

线性代数在计算机视觉中的应用：矩阵微积分与常见问题解析

在计算机视觉领域，线性代数起着至关重要的作用。本文将深入探讨矩阵微积分以及一些常见的线性代数问题，这些问题在计算机视觉的推理和学习任务中经常出现。

1. 矩阵微积分

在处理复合矩阵表达式时，我们常常需要求导数。以下是不同类型函数导数的定义：
- 若函数 (f[a]) 以向量为参数并返回标量，则其导数是一个向量 (b)，其中元素 (b_i = \frac{\partial f}{\partial a_i}) 。
- 若函数 (f[A]) 返回标量，相对于 (M×N) 矩阵 (A) 的导数是一个 (M×N) 矩阵 (B)，元素 (b_{ij} = \frac{\partial f}{\partial a_{ij}}) 。
- 若函数 (f[a]) 返回向量，相对于向量 (a) 的导数是一个矩阵 (B)，元素 (b_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial a_j}) ，这里 (f_i) 是函数 (f[a]) 返回向量的第 (i) 个元素。

以下是一些常用的导数结果：
|类型|公式|
| ---- | ---- |
|线性函数导数|(\frac{\partial x^T a}{\partial x} = a)；(\frac{\partial a^T x}{\partial x} = a)；(\frac{\partial a^T Xb}{\partial X} = ab^T)；(\frac{\partial a^T X^T b}{\partial X} = ba^T) |
|二次函数导数|(\frac{\partial b^T X^T Xc}{\partial X} = X(bc^T + cb^T))；(\frac{\partial (Bx + b)^T C(Dx + d)}{\partial x} = B^T C(Dx + d) + D^T C^T (Bx + b))；(\frac{\partial x^T Bx}{\partial x} = (B + B^T)x)；(\frac{\partial b^T X^T DXc}{\partial X} = D^T Xbc^T + DXcb^T)；(\frac{\partial (Xb + c)^T D(Xb + c)}{\partial X} = (D + D^T)(Xb + c)b^T) |
|行列式导数|(\frac{\partial det[Y]}{\partial x} = det[Y]tr\left[Y^{-1} \frac{\partial Y}{\partial x}\right])；(\frac{\partial det[Y]}{\partial Y} = det[Y]Y^{-T}) |
|对数行列式导数|(\frac{\partial log[det[Y]]}{\partial Y} = Y^{-T}) |
|逆矩阵导数|(\frac{\partial Y^{-1}}{\partial x} = -Y^{-1} \frac{\partial Y}{\partial x} Y^{-1}) |
|迹的导数|(\frac{\partial tr[F[X]]}{\partial X} = \left(\frac{\partial F[X]}{\partial X}\right)^T) |

2. 常见问题

2.1 最小二乘问题

计算机视觉中的许多推理和学习任务都会归结为最小二乘问题。通常有以下几种形式：
- 求解系统 (Ax = b) 的最小二乘解。
- 给定多个小方程 (A_ix = b_i)，求解 (x)。此时可构造复合矩阵 (A = [A_1^T, A_2^T \cdots A_I^T]^T) 和复合向量 (b = [b_1^T, b_2^T \cdots b_I^T]^T)，问题就转化为上述形式。
- 以显式最小二乘形式表示：(\hat{x} = \arg\min_x [(Ax - b)^T (Ax - b)]) 。
- 表示为多个小项的和：(\hat{x} = \arg\min_x \left[\sum_{i = 1}^{I} (A_ix - b_i)^T (A_ix - b_i)\right]) ，同样可构造复合矩阵和向量转化为上述形式。

求解步骤如下：
1. 展开 ((Ax - b)^T (Ax - b)) 得到 (x^T A^T Ax - b^T Ax - x^T A^T b + b^T b) ，由于 (b^T Ax) 和 (x^T A^T b) 是标量且互为转置，可合并为 (x^T A^T Ax - 2x^T A^T b + b^T b) 。
2. 对 (x) 求导数并令结果为零，得到 (2A^T Ax - 2A^T b = 0) 。
3. 整理可得标准最小二乘结果 (x = (A^T A)^{-1}A^T b) 。但此结果只有在 (A) 的行数不少于 (x) 中未知值的数量时才能计算，否则 (A^T A) 会是奇异矩阵。在 Matlab 实现中，建议使用反斜杠运算符 ‘\’ 而非显式实现该公式。

2.2 主方向/最小方向

主方向和最小方向的定义如下：
- 主方向：(\hat{b} = \arg\max_b [Ab]) ，约束条件为 (|b| = 1) 。
- 最小方向：(\hat{b} = \arg\min_b [Ab]) ，约束条件为 (|b| = 1) 。

求解方法：对矩阵 (A) 进行奇异值分解 (A = ULV^T) ，主方向问题中，令 (b) 为 (V) 的第一列；最小方向问题中，令 (b) 为 (V) 的最后一列。

2.3 正交 Procrustes 问题

该问题是找到一组向量 (A) 到另一组向量 (B) 的最接近线性映射 (\Omega) ，且 (\Omega) 为正交矩阵，即 (\hat{\Omega} = \arg\min_{\Omega} [|\Omega A - B|_F]) ，其中 (|\cdot|_F) 表示矩阵的 Frobenius 范数。

求解步骤如下：
1. 利用 (|X| F = tr[X^T X]) ，将问题转化为 (\hat{\Omega} = \arg\min {\Omega} [tr[A^T A] + tr[B^T B] - 2tr[A^T \Omega^T B]] = \arg\max_{\Omega} [tr[A^T \Omega^T B]] = \arg\max_{\Omega} [tr[\Omega^T B A^T]]) 。
2. 对 (B A^T) 进行奇异值分解 (B A^T = ULV^T) ，得到 (\hat{\Omega} = \arg\max_{\Omega} [tr[\Omega^T ULV^T]] = \arg\max_{\Omega} [tr[V^T \Omega^T UL]]) 。
3. 由于 (L) 是对角矩阵，令 (Z = V^T \Omega^T U) ，则 (tr[V^T \Omega^T UL] = tr[ZL] = \sum_{i = 1}^{I} z_{ii}l_{ii}) 。
4. 因为 (Z) 是正交矩阵，其对角线上的值小于等于 1，当 (Z = I) 时可使准则最大化。为实现这一点，令 (\Omega^T = V U^T) ，则最终解为 (\hat{\Omega} = U V^T) 。

特殊情况是找到与给定方阵 (B) 最接近的正交矩阵 (\Omega) ，即 (\hat{\Omega} = \arg\min_{\Omega} [|\Omega - B|_F]) ，这等价于上述问题中 (A = I) 的情况，可通过对 (B) 进行奇异值分解 (B = ULV^T) 并令 (\Omega = U V^T) 来求解。

3. 大型矩阵求逆技巧

(D×D) 矩阵求逆的复杂度为 (O(D^3)) ，实际中维度大于几千的矩阵求逆较为困难。不过，矩阵通常具有高度结构，可利用以下技巧加速求逆过程：
- 对角和块对角矩阵 ：对角矩阵的逆可通过形成一个新的对角矩阵得到，新矩阵对角线上的值是原矩阵对应值的倒数。块对角矩阵 (A = \begin{bmatrix} A_1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & A_2 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & A_N \end{bmatrix}) 的逆可通过分别求每个块的逆得到 (A^{-1} = \begin{bmatrix} A_1^{-1} & 0 & \cdots & 0 \ 0 & A_2^{-1} & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & A_N^{-1} \end{bmatrix}) 。

• 求逆关系 #1：Schur 补恒等式 ：对于具有子块 (A)、(B)、(C) 和 (D) 的矩阵，其逆为 (\begin{bmatrix} A & B \ C & D \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} (A - BD^{-1}C)^{-1} & -(A - BD^{-1}C)^{-1}BD^{-1} \ -D^{-1}C(A - BD^{-1}C)^{-1} & D^{-1} + D^{-1}C(A - BD^{-1}C)^{-1}BD^{-1} \end{bmatrix}) 。当矩阵 (D) 是对角或块对角矩阵时，该关系非常有用，因为 (D^{-1}) 计算快速，且剩余的逆 ((A - BD^{-1}C)^{-1}) 比原矩阵小得多，更容易求逆。(A - BD^{-1}C) 被称为 Schur 补。

graph LR
    A[原矩阵] --> B[分解为四个子矩阵 A,B,C,D]
    B --> C{判断 D 是否易求逆}
    C -- 是 --> D[计算 D 的逆 D^-1]
    D --> E[计算 Schur 补 A - BD^-1C]
    E --> F[求 Schur 补的逆 (A - BD^-1C)^-1]
    F --> G[根据公式计算原矩阵的逆]
    C -- 否 --> H[不适用此方法]

• 求逆关系 #2 ：对于 (d×d) 矩阵 (A)、(k×k) 矩阵 (C) 和 (k×d) 矩阵 (B) （(A) 和 (C) 为对称正定矩阵），有 ((A^{-1} + B^T C^{-1}B)^{-1}B^T C^{-1} = A B^T (B A B^T + C)^{-1}) 。当 (B) 是列数远多于行数的矩阵时，此关系很有用，因为等式左边需求逆的项大小为 (C×C) ，可能代价高昂，而右边求逆的项大小为 (R×R) ，更具成本效益。

• 求逆关系 #3：Sherman–Morrison–Woodbury ：同样对于 (d×d) 矩阵 (A)、(k×k) 矩阵 (C) 和 (k×d) 矩阵 (B) （(A) 和 (C) 为对称正定矩阵），有 ((A^{-1} + B^T C^{-1}B)^{-1} = A - A B^T (B A B^T + C)^{-1}B A) ，这有时被称为矩阵求逆引理。

• 矩阵行列式引理 ：对于 (d×d) 矩阵 (A)、(k×k) 矩阵 (C) 和 (k×d) 矩阵 (B) （(A) 和 (C) 为对称正定协方差矩阵），有 (|A^{-1} + B^T C^{-1}B| = |I + B A B^T||C|^{-1}|A|^{-1}) 。当需要求逆的矩阵是正态分布的协方差矩阵时，此引理可用于计算相同矩阵的行列式。

线性代数在计算机视觉中的应用：矩阵微积分与常见问题解析（续）

4. 总结与应用拓展

在计算机视觉领域，线性代数的这些知识和技巧有着广泛的应用。下面我们将进一步探讨这些内容在实际应用中的重要性和拓展方向。

4.1 矩阵微积分的应用

矩阵微积分在计算机视觉的优化算法中起着关键作用。例如，在深度学习中，许多模型的训练过程都涉及到对目标函数的求导和优化。当我们使用梯度下降等优化算法来更新模型的参数时，就需要计算目标函数相对于参数的导数。矩阵微积分的相关公式可以帮助我们高效地完成这些计算。

以线性函数的导数为例，在神经网络的线性层中，输入 (x) 经过线性变换 (Wx + b) 得到输出，其中 (W) 是权重矩阵，(b) 是偏置向量。在计算损失函数相对于 (W) 和 (b) 的梯度时，就会用到线性函数导数的公式。通过不断地更新 (W) 和 (b) ，使得损失函数最小化，从而提高模型的性能。

二次函数的导数在处理一些涉及到距离度量和正则化的问题中也非常有用。例如，在最小二乘问题中，我们经常会用到二次函数的形式来表示误差，通过求导可以找到最优的参数解。

行列式和对数行列式的导数在处理概率模型和特征选择中有着重要的应用。在一些概率模型中，行列式可以表示协方差矩阵的体积，对数行列式的导数可以用于计算模型的梯度，从而进行参数估计和推断。

逆矩阵的导数在处理动态系统和滤波问题中非常关键。例如，在卡尔曼滤波中，需要不断地更新状态估计和协方差矩阵，逆矩阵的导数可以帮助我们高效地完成这些计算。

迹的导数在处理矩阵的统计特性和特征提取中有着重要的应用。例如，在主成分分析（PCA）中，我们希望找到数据的最大方差方向，这可以通过最大化数据协方差矩阵的迹来实现，迹的导数可以帮助我们找到最优的投影矩阵。

4.2 常见问题的应用场景

• 最小二乘问题 ：最小二乘问题在计算机视觉中的应用非常广泛，例如相机标定、图像配准、三维重建等。在相机标定中，我们需要通过已知的三维点和对应的二维图像点来求解相机的内部参数和外部参数，这可以通过最小二乘问题来实现。在图像配准中，我们需要找到两幅图像之间的变换关系，使得它们在某种度量下最接近，最小二乘问题可以帮助我们找到最优的变换参数。在三维重建中，我们需要通过多幅图像来重建三维场景，最小二乘问题可以用于求解三维点的坐标。
• 主方向/最小方向 ：主方向和最小方向在图像特征提取和目标识别中有着重要的应用。例如，在人脸识别中，我们可以通过计算人脸图像的主方向和最小方向来提取人脸的特征，这些特征可以用于人脸的分类和识别。在目标检测中，我们可以通过计算目标的主方向和最小方向来确定目标的姿态和位置，从而提高检测的准确性。
• 正交 Procrustes 问题 ：正交 Procrustes 问题在图像对齐和形状匹配中有着重要的应用。例如，在医学图像分析中，我们需要将不同时间或不同角度拍摄的医学图像进行对齐，正交 Procrustes 问题可以帮助我们找到最优的旋转和平移变换，使得两幅图像尽可能地重合。在形状匹配中，我们需要将不同形状的物体进行匹配，正交 Procrustes 问题可以用于找到最优的旋转和缩放变换，使得两个形状尽可能地相似。

4.3 大型矩阵求逆技巧的应用

在计算机视觉中，我们经常会遇到大型矩阵求逆的问题，例如在三维重建、机器学习和深度学习中。大型矩阵求逆的复杂度非常高，直接求逆可能会导致计算时间过长或内存不足。因此，利用矩阵的结构和求逆技巧可以大大提高计算效率。
- 对角和块对角矩阵 ：当矩阵是对角或块对角矩阵时，求逆非常简单，可以直接计算每个对角元素或块的逆。在一些稀疏矩阵的处理中，我们可以将矩阵分解为对角或块对角矩阵的形式，从而提高求逆的效率。
- Schur 补恒等式 ：Schur 补恒等式在处理分块矩阵时非常有用。当矩阵可以分解为四个子矩阵，且右下角的子矩阵容易求逆时，我们可以利用 Schur 补恒等式来减少求逆的复杂度。在一些大规模的线性系统求解中，我们可以将矩阵分解为分块矩阵的形式，利用 Schur 补恒等式来求解。
- 求逆关系 #2 和 #3 ：求逆关系 #2 和 #3 在处理一些复杂的矩阵求逆问题中非常有用。当矩阵的形式满足一定的条件时，我们可以利用这些关系来将求逆问题转化为更简单的形式，从而提高计算效率。在一些机器学习算法中，我们经常会遇到这种复杂的矩阵求逆问题，利用这些关系可以大大提高算法的性能。
- 矩阵行列式引理 ：矩阵行列式引理在处理概率模型和特征选择中有着重要的应用。当需要求逆的矩阵是正态分布的协方差矩阵时，我们可以利用矩阵行列式引理来计算行列式，从而进行参数估计和推断。

5. 实际案例分析

为了更好地理解这些知识和技巧的应用，下面我们通过一个实际案例来进行分析。

假设我们有一组三维点云数据，需要对这些点云进行配准，使得它们在同一个坐标系下对齐。我们可以将这个问题转化为正交 Procrustes 问题来求解。

步骤如下 ：
1. 数据准备 ：将两组点云数据分别表示为矩阵 (A) 和 (B) ，其中 (A) 和 (B) 的每一列表示一个三维点的坐标。
2. 计算目标函数 ：根据正交 Procrustes 问题的定义，我们需要找到一个正交矩阵 (\Omega) ，使得 (|\Omega A - B|_F) 最小。
3. 奇异值分解 ：对 (B A^T) 进行奇异值分解 (B A^T = ULV^T) 。
4. 求解正交矩阵 ：根据奇异值分解的结果，令 (\Omega = U V^T) ，得到最优的正交矩阵。
5. 应用变换 ：将矩阵 (A) 乘以正交矩阵 (\Omega) ，得到配准后的点云数据 (\Omega A) 。

graph LR
    A[输入两组点云数据 A 和 B] --> B[计算 B A^T]
    B --> C[对 B A^T 进行奇异值分解 B A^T = ULV^T]
    C --> D[计算正交矩阵 \Omega = U V^T]
    D --> E[将 A 乘以 \Omega 得到配准后的点云 \Omega A]
    E --> F[输出配准后的点云数据]

通过这个实际案例，我们可以看到正交 Procrustes 问题在点云配准中的应用，以及奇异值分解和矩阵运算在求解过程中的重要性。

6. 总结与展望

线性代数在计算机视觉中有着广泛的应用，矩阵微积分、常见问题和大型矩阵求逆技巧是其中的重要组成部分。通过深入理解这些知识和技巧，我们可以更好地解决计算机视觉中的各种问题，提高算法的性能和效率。

在未来的研究中，我们可以进一步探索这些知识和技巧的应用场景，结合深度学习和机器学习的方法，开发出更加高效和准确的计算机视觉算法。例如，将矩阵微积分和深度学习的自动求导机制相结合，开发出更加灵活和强大的优化算法；将常见问题和深度学习的模型结构相结合，开发出更加智能和自适应的计算机视觉模型；将大型矩阵求逆技巧和分布式计算相结合，开发出更加高效和可扩展的计算机视觉系统。

同时，我们也需要注意这些知识和技巧的局限性和适用范围，在实际应用中根据具体问题选择合适的方法和工具。例如，在处理大规模数据时，需要考虑计算资源和时间复杂度的问题；在处理复杂的非线性问题时，需要结合非线性优化和机器学习的方法。

总之，线性代数是计算机视觉中不可或缺的基础，通过不断地学习和实践，我们可以更好地掌握这些知识和技巧，为计算机视觉的发展做出贡献。