45、形状与风格身份模型详解

形状与风格身份模型详解

1. 形状模型相关

在形状模型领域，前人做了诸多研究。有人将主成分分析（PCA）应用于人体骨骼模型，但未包含模拟肌肉运动变形的组件。在手部模型方面，众多学者进行了手部跟踪模型的开发。

1.1 手部模型研究

以下是部分开发手部跟踪模型的学者及其时间：
| 学者 | 时间 |
| ---- | ---- |
| Rehg 和 Kanade | 1994 年、1995 年 |
| Heap 和 Hogg | 1996 年 |
| Stenger 等人 | 2001a 年 |
| Wu 等人 | 2001 年 |
| Lu 等人 | 2003 年 |
| De La Gorce 等人 | 2008 年 |

其中，De La Gorce 等人在 2008 年提出了一个非常复杂的模型，该模型描述了手部的纹理、阴影和自我遮挡。

1.2 形状模型问题探讨

以下是一些形状模型相关的问题及分析：
- 问题 17.1 ：圆锥曲线定义为 $\begin{bmatrix}x & y & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha & \beta & \gamma \ \beta & \delta & \epsilon \ \gamma & \epsilon & \zeta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \ y \ 1\end{bmatrix}= 0$，即 $\tilde{x}^T C\tilde{x} = 0$。使用 MATLAB 绘制二维函数 $\tilde{x}^T C\tilde{x}$，并确定该函数为零的位置集，给定矩阵如下：
- $C_1 = \begin{bmatrix}3 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & -1\end{bmatrix}$
- $C_2 = \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & -2\end{bmatrix}$
- $C_3 = \begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}$
- 问题 17.2 ：设计一个高效算法来计算距离变换。该算法应接受二值图像，并返回每个像素到原始图像中最近非零元素的城市街区距离。像素 $(x_1,y_1)$ 和像素 $(x_2,y_2)$ 之间的城市街区距离 $d$ 定义为 $d = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$。
- 问题 17.3 ：考虑基于曲率项的先验：$curve[w,n] = -(w_{n - 1} - 2w_n + w_{n + 1})^T (w_{n - 1} - 2w_n + w_{n + 1})$。如果地标点 $w_1 = [100,100]$，地标点 $w_3$ 位于位置 $w_3 = [200,300]$，求使函数 $curve[w,2]$ 最小的位置 $w_2$。
- 问题 17.4 ：如果蛇模型在空图像中初始化，在拟合过程中它将如何演变？
- 问题 17.5 ：蛇先验的间距元素（方程 17.5）鼓励蛇的所有控制点等距。另一种方法是让蛇有收缩的趋势（以便它围绕物体坍塌）。写出一个能实现此目标的间距项的替代表达式。
- 问题 17.6 ：设计一种方法，根据新向量 $w$ 和 PPCA 模型的参数 ${\mu,\Phi,\sigma^2}$ 找到“最佳”权重向量 $h$。
- 问题 17.7 ：证明如果矩阵 $W$ 的奇异值分解可以写成 $W = ULV^T$，则有 $WW^T = UL U^T$ 和 $W^T W = VLV^T$。

2. 风格与身份模型

在风格与身份模型中，我们探讨的模型旨在根据几个潜在原因解释观察到的数据。这些原因可分为三类：对象的身份、观察对象的风格以及剩余的变化。以人脸识别为例，面部图像的身份（即是谁的脸）显然会影响观察到的数据，但观察面部的风格（如姿势、表情和光照）也很重要。此外，还有许多其他因素（如化妆、戴眼镜、留胡子或染发）也会对最终观察到的数据产生影响，这些因素通常用一个通用的噪声项来解释。

2.1 因子分析模型

因子分析模型将第 $i$ 个数据示例 $x_i$ 解释为：
$x_i = \mu + \Phi h_i + \epsilon_i$
其中，$\mu$ 是数据的总体均值，矩阵 $\Phi = [\varphi_1,\varphi_2,…,\varphi_K]$ 的列包含 $K$ 个因子，每个因子可视为高维空间中的基向量，它们共同定义了一个子空间。隐藏变量 $h_i$ 的 $K$ 个元素对 $K$ 个因子进行加权，以解释数据相对于均值的观察偏差。剩余无法解释的差异归因于加性噪声 $\epsilon_i$，它服从对角协方差为 $\Sigma$ 的正态分布。

在概率方面，我们有：
$Pr(x_i|h_i) = Norm_{x_i}[\mu + \Phi h_i,\Sigma]$
$Pr(h_i) = Norm_{h_i}[0,I]$

我们可以通过对隐藏变量进行边缘化来计算观察到新数据示例的似然，得到最终的概率模型：
$Pr(x_i) = \int Pr(x_i,h_i) dh_i = \int Pr(x_i|h_i)Pr(h_i) dh_i = Norm_{x_i}[\mu,\Phi\Phi^T + \Sigma]$

为了从训练数据 ${x_i} {i = 1}^I$ 中学习该模型，我们使用期望最大化（EM）算法：
- E 步 ：计算每个隐藏变量 $h_i$ 的后验分布 $Pr(h_i|x_i)$：
$Pr(h_i|x_i) = Norm {h_i}[(\Phi^T \Sigma^{-1}\Phi + I)^{-1}\Phi^T \Sigma^{-1}(x_i - \mu),(\Phi^T \Sigma^{-1}\Phi + I)]$
- M 步 ：更新参数：
$\hat{\mu} = \frac{\sum_{i = 1}^I x_i}{I}$
$\hat{\Phi} = \left(\sum_{i = 1}^I (x_i - \hat{\mu})E[h_i]^T\right)\left(\sum_{i = 1}^I E[h_ih_i^T]\right)^{-1}$
$\hat{\Sigma} = \frac{1}{I}\sum_{i = 1}^I diag[(x_i - \hat{\mu})^T (x_i - \hat{\mu}) - \hat{\Phi}E[h_i]x_i^T]$

以下是因子分析模型学习过程的 mermaid 流程图：

graph LR
    A[开始] --> B[初始化参数]
    B --> C[E 步：计算 Pr(hi|xi)]
    C --> D[提取 E[hi] 和 E[hihT i]]
    D --> E[M 步：更新参数]
    E --> F{log 似然是否增加}
    F -- 是 --> C
    F -- 否 --> G[结束]

2.2 子空间身份模型

因子分析模型能很好地描述正面面部图像的强度数据，但未考虑身份因素。子空间身份模型对因子分析模型进行了扩展，以考虑已知具有相同身份的数据示例。

我们用 $x_{ij}$ 表示第 $i$ 个身份（个体）的第 $j$ 个观察数据示例。生成观察数据 $x_{ij}$ 的解释为：
$x_{ij} = \mu + \Phi h_i + \epsilon_{ij}$

在概率形式下：
$Pr(h_i) = Norm_{h_i}[0,I]$
$Pr(x_{ij}|h_i) = Norm_{x_{ij}}[\mu + \Phi h_i,\Sigma]$

该模型将方差分解为两部分：个体间差异解释了不同身份数据之间的差异，个体内差异解释了同一身份数据示例之间的差异。单个数据点的数据密度仍为 $Pr(x_{ij}) = Norm_{x_{ij}}[\mu,\Phi\Phi^T + \Sigma]$，其中 $\Phi\Phi^T$ 对应个体间差异，$\Sigma$ 是个体内差异。

学习过程 ：同样使用 EM 算法学习参数 $\theta = {\mu,\Phi,\Sigma}$。
- E 步 ：计算每个隐藏变量 $h_i$ 的后验概率分布：
$Pr(h_i|x_{i\cdot}) = \frac{\prod_{j = 1}^J Pr(x_{ij}|h_i)Pr(h_i)}{\int \prod_{j = 1}^J Pr(x_{ij}|h_i)Pr(h_i) dh_i} = Norm_{h_i}[(J\Phi^T \Sigma^{-1}\Phi + I)^{-1}\Phi^T \Sigma^{-1}\sum_{j = 1}^J (x_{ij} - \mu),(J\Phi^T \Sigma^{-1}\Phi + I)^{-1}]$
并提取矩：
$E[h_i] = (J\Phi^T \Sigma^{-1}\Phi + I)^{-1}\Phi^T \Sigma^{-1}\sum_{j = 1}^J (x_{ij} - \mu)$
$E[h_ih_i^T] = (J\Phi^T \Sigma^{-1}\Phi + I)^{-1} + E[h_i]E[h_i]^T$
- M 步 ：更新参数：
$\hat{\mu} = \frac{\sum_{i = 1}^I \sum_{j = 1}^J x_{ij}}{IJ}$
$\hat{\Phi} = \left(\sum_{i = 1}^I \sum_{j = 1}^J (x_{ij} - \hat{\mu})E[h_i]^T\right)\left(\sum_{i = 1}^I JE[h_ih_i^T]\right)^{-1}$
$\Sigma = \frac{1}{IJ}\sum_{i = 1}^I \sum_{j = 1}^J diag[(x_{ij} - \hat{\mu})^T (x_{ij} - \hat{\mu}) - \hat{\Phi}E[h_i]x_{ij}^T]$

通过交替进行 E 步和 M 步，直到数据的对数似然不再增加。

子空间身份模型学习过程的 mermaid 流程图如下：

graph LR
    A[开始] --> B[初始化参数]
    B --> C[E 步：计算 Pr(hi|xi•)]
    C --> D[提取 E[hi] 和 E[hihT i]]
    D --> E[M 步：更新参数]
    E --> F{log 似然是否增加}
    F -- 是 --> C
    F -- 否 --> G[结束]

推理过程 ：在人脸识别验证问题中，观察两个数据示例 $x_1$ 和 $x_2$，推断世界状态 $w \in {0,1}$，其中 $w = 0$ 表示数据示例具有不同身份，$w = 1$ 表示具有相同身份。使用贝叶斯规则计算后验 $Pr(w|x_1,x_2)$：
$Pr(w = 1|x_1,x_2) = \frac{Pr(x_1,x_2|w = 1)Pr(w = 1)}{\sum_{n = 0}^1 Pr(x_1,x_2|w = n)Pr(w = n)}$

当两个数据点具有不同身份时，似然 $Pr(x_1,x_2|w = 0)$ 的生成方程为：
$\begin{bmatrix}x_1 \ x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\mu \ \mu\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\Phi & 0 \ 0 & \Phi\end{bmatrix}\begin{bmatrix}h_1 \ h_2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\epsilon_1 \ \epsilon_2\end{bmatrix}$

它具有因子分析器的形式：$x’ = \mu’ + \Phi’ h’ + \epsilon’$。

以上就是形状模型以及风格与身份模型的相关内容，这些模型在计算机视觉等领域有着重要的应用，为解决诸如人脸识别等问题提供了有效的方法。

形状与风格身份模型详解（续）

3. 形状模型问题操作分析

在前面提到了多个形状模型相关的问题，下面对部分问题进行更深入的操作分析。

3.1 问题 17.1 的 MATLAB 实现

问题 17.1 要求使用 MATLAB 绘制二维函数 $\tilde{x}^T C\tilde{x}$ 并确定其为零的位置集。以下是一个简单的 MATLAB 代码示例：

% 定义矩阵 C1, C2, C3
C1 = [3 0 0; 0 2 0; 0 0 -1];
C2 = [0 0 1; 0 0 0; 1 0 -2];
C3 = [-1 0 0; 0 0 1; 0 1 0];

% 生成 x 和 y 的网格
x = linspace(-10, 10, 100);
y = linspace(-10, 10, 100);
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% 计算每个矩阵对应的函数值
Z1 = zeros(size(X));
Z2 = zeros(size(X));
Z3 = zeros(size(X));

for i = 1:size(X, 1)
    for j = 1:size(X, 2)
        xtilde = [X(i,j); Y(i,j); 1];
        Z1(i,j) = xtilde' * C1 * xtilde;
        Z2(i,j) = xtilde' * C2 * xtilde;
        Z3(i,j) = xtilde' * C3 * xtilde;
    end
end

% 绘制函数图像
figure;
subplot(3,1,1);
surf(X, Y, Z1);
title('C1: \tilde{x}^T C1 \tilde{x}');
subplot(3,1,2);
surf(X, Y, Z2);
title('C2: \tilde{x}^T C2 \tilde{x}');
subplot(3,1,3);
surf(X, Y, Z3);
title('C3: \tilde{x}^T C3 \tilde{x}');

% 确定函数为零的位置集
tol = 1e-6;
zero_positions_C1 = find(abs(Z1) < tol);
zero_positions_C2 = find(abs(Z2) < tol);
zero_positions_C3 = find(abs(Z3) < tol);

% 输出结果
disp('C1 函数为零的位置集：');
disp(zero_positions_C1);
disp('C2 函数为零的位置集：');
disp(zero_positions_C2);
disp('C3 函数为零的位置集：');
disp(zero_positions_C3);

这个代码首先定义了三个矩阵 $C_1$、$C_2$ 和 $C_3$，然后生成了 $x$ 和 $y$ 的网格，计算每个矩阵对应的函数值并绘制函数图像。最后，通过设置一个容差来确定函数为零的位置集。

3.2 问题 17.2 距离变换算法设计

问题 17.2 要求设计一个高效算法来计算距离变换。以下是一个基于 Python 和 NumPy 的实现：

import numpy as np

def distance_transform(binary_image):
    rows, cols = binary_image.shape
    distance_image = np.full((rows, cols), np.inf)

    # 前向扫描
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            if binary_image[i, j] != 0:
                distance_image[i, j] = 0
            else:
                if i > 0:
                    distance_image[i, j] = min(distance_image[i, j], distance_image[i - 1, j] + 1)
                if j > 0:
                    distance_image[i, j] = min(distance_image[i, j], distance_image[i, j - 1] + 1)

    # 后向扫描
    for i in range(rows - 1, -1, -1):
        for j in range(cols - 1, -1, -1):
            if i < rows - 1:
                distance_image[i, j] = min(distance_image[i, j], distance_image[i + 1, j] + 1)
            if j < cols - 1:
                distance_image[i, j] = min(distance_image[i, j], distance_image[i, j + 1] + 1)

    return distance_image

# 示例使用
binary_image = np.array([[0, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 0]])
distance_image = distance_transform(binary_image)
print("距离变换结果：")
print(distance_image)

这个算法分为前向扫描和后向扫描两个步骤。在前向扫描中，从左上角开始遍历图像，更新每个像素到最近非零元素的距离。在后向扫描中，从右下角开始遍历图像，再次更新距离。最终得到每个像素到最近非零元素的城市街区距离。

4. 风格与身份模型应用拓展

风格与身份模型在人脸识别等领域有重要应用，下面我们进一步探讨其应用拓展。

4.1 性别分类应用

假设我们有 100 张男性人脸和 100 张女性人脸图像，并且手动在每张图像上标记了 50 个地标点。可以使用这些数据开发基于形状的生成式性别分类方法。

训练过程 ：
1. 提取每张图像的 50 个地标点，将其作为形状特征。
2. 对男性和女性的地标点数据分别进行主成分分析（PCA）或概率主成分分析（PPCA），得到各自的子空间模型。
3. 计算男性和女性子空间模型的参数，如均值 $\mu$、因子矩阵 $\Phi$ 和协方差 $\Sigma$。

推断过程 ：对于一张新的人脸图像，首先手动标记 50 个地标点，然后计算该地标点在男性和女性子空间模型下的似然值。比较两个似然值，似然值大的对应的性别即为推断结果。

4.2 遮挡人脸处理

当我们学习了人脸形状的点分布模型后，遇到一张鼻子以下被围巾遮挡的新人脸图像，可以利用模型估计面部上下半部分的地标点位置。

操作步骤 ：
1. 提取未被遮挡部分（鼻子以上）的地标点。
2. 根据学习到的模型，计算这些地标点对应的隐藏变量 $h$ 的最大后验概率（MAP）估计 $\hat{h}$。
3. 使用 $\hat{h}$ 计算整个面部的地标点位置，即 $\mu + \Phi \hat{h}$。
4. 将计算得到的地标点位置作为估计结果。

5. 总结

本文详细介绍了形状模型和风格与身份模型的相关内容。形状模型部分包括手部模型研究以及多个相关问题的探讨，并给出了部分问题的具体实现代码。风格与身份模型部分介绍了因子分析模型和子空间身份模型，包括其原理、学习过程和推理过程，还探讨了模型在性别分类和遮挡人脸处理等方面的应用拓展。

通过对这些模型的学习和应用，我们可以更好地处理计算机视觉中的各种问题，如人脸识别、图像分析等。在实际应用中，我们可以根据具体需求选择合适的模型，并对模型进行适当的调整和优化，以提高模型的性能和准确性。

以下是风格与身份模型应用流程的 mermaid 流程图：

graph LR
    A[数据准备] --> B[模型训练]
    B --> C[模型推断]
    C --> D{结果判断}
    D -- 符合要求 --> E[输出结果]
    D -- 不符合要求 --> F[模型调整]
    F --> B

总之，形状和风格与身份模型为我们解决复杂的图像问题提供了有力的工具和方法，值得我们深入研究和应用。