34、图论与向量装箱问题研究

图论与向量装箱问题研究

一、磁盘图相关内容

1. 磁盘图的定义
   磁盘图 (DG(S)) 是一个有向图，给定 (R^d) 中的 (n) 个点的集合 (S) 以及函数 (r : S \to R)，其边集 (E = {(u, v) | r(u) \geq |uv|})。与对称磁盘图不同，磁盘图的最小生成子图的权重可能比 (MST(S)) 大很多。
2. 主要定理及证明
   • 定理 6 ：设 (DG(S)) 是 (R^d) 中 (n) 个点的集合 (S) 上的强连通磁盘图，则 (i) (wt(MST_{DG}(S)) = O(n) \cdot wt(MST(S)))；(ii) 存在平面上的 (n) 个点的集合，使得 (wt(MST_{DG}(S)) = \Omega(n) \cdot wt(MST(S)))。
   • 证明过程
     • 上界证明 ：因为 (max_{e \in E(DG(S))}{wt(e)} \leq wt(MST(S)))，且 (MST_{DG}(S)) 中的边数小于 (2n)，所以 (wt(MST_{DG}(S)) < 2n \cdot max_{e \in E(DG(S))}{wt(e)} \leq 2n \cdot wt(MST(S)) = O(n) \cdot wt(MST(S)))。
     • 下界证明 ：考虑平面上 (n + 1)