28、用更少峰值的曲线表示函数曲线

用更少峰值的曲线表示函数曲线

在实际应用中，我们常常需要用结构更简单的曲线来近似表示复杂的函数曲线。本文主要研究了二维中用更少峰值的曲线来近似表示函数曲线的问题，下面为你详细介绍相关内容。

1. 问题引入

设 $f$ 是一个输入的大小为 $n$ 的非负分段线性函数曲线。在表示 $f$ 时，我们关注三个方面：
- 表示模式 ：定义所使用的简单曲线的类型和约束。
- 表示复杂度 ：参与表示的简单曲线的数量。
- 表示误差 ：$f$ 与表示中简单曲线之和的垂直距离。

具体考虑以下三种表示模式：
- 上下坡对表示（UDPR） ：用一条非递减（上坡）曲线和一条非递增（下坡）曲线来表示 $f$。
- 单峰表示（UR） ：用一组单峰曲线来表示 $f$。
- 少峰表示（FPR） ：用一个最多有给定数量 $k$ 个峰值的函数曲线来表示 $f$。

对于每个问题，考虑不同的版本：
|问题|版本|描述|
| ---- | ---- | ---- |
|UDPR|可行性版本|判断在给定表示误差 $\epsilon$ 界限下，上下坡对表示是否可行|
|UDPR|最小 $\epsilon$ 版本|在所有可行的上下坡对表示中，最小化表示误差 $\epsilon^ $|
|UR|最小 $k$ 版本|在给定误差界限 $\epsilon$ 下，最小化表示复