27、单位圆盘图中最小团划分的近似算法研究

单位圆盘图中最小团划分的近似算法研究

1. 最小团划分问题概述

在图论中，最小团划分（Minimum Clique Partition，MCP）问题是一个经典的组合优化问题。对于单位圆盘图（Unit Disk Graphs，UDGs），我们希望将图中的顶点划分为尽可能少的团（完全子图）。在不同的场景下，MCP问题有不同的变种，如仅考虑边长度信息的MCP问题，以及加权最小团划分（Minimum Weighted Clique Partition，MWCP）问题。

2. 仅已知边长度的单位圆盘图的PTAS算法

当仅知道单位圆盘图的边长度信息时，我们可以设计一个多项式时间近似方案（Polynomial Time Approximation Scheme，PTAS）来解决最小团划分问题。

2.1 算法思路

算法的高层次思路是将图分解为有界直径的区域，然后计算每个区域的最优团划分，最后将这些团划分合并起来，使其规模接近最优解的(1 + ε)倍。这里存在两个主要困难：
- 不能像几何情况那样使用随机移位论证。我们采用球生长技术来得到有界直径的区域，这一技术受到了相关研究的启发。
- 即使知道属于有界区域（球）的点集，也不清楚如何使用分离定理来获得该实例的最优解。我们将展示如何在输入直径有界的情况下计算最优团划分。

2.2 算法步骤

以下是具体的分解算法（MinCP2）：

Algorithm 1. MinCP2(G, ε)
1: C ← ∅; β ← ⌈c0 1/ε log 1/ε⌉; ℓ ← c