22、覆盖半定规划的可行且精确算法

覆盖半定规划的可行且精确算法

1. 波束成形SDP的相关推论

对于波束成形半定规划（B），可以在 $\tilde{O}(n(n^3 + R) \cdot \frac{1}{\epsilon})$ 时间内计算出相对 $\epsilon$-最优可行解。这为波束成形问题的求解提供了一个时间复杂度上的理论保障，在实际应用中，我们可以根据这个时间复杂度来评估算法的效率和可行性。

2. k近邻分类

Weinberger等人考虑了一个用于模式分类的模型。设 $G = (V, E)$ 是一个图，其中 $T = |V|$，每个节点 $i \in V$ 有一个输入 $(v_i, y_i)$，$i = 1, \ldots, T$，这里 $v_i \in \mathbb{R}^n$，$y_i$ 是来自有限离散集的标签。对于每个 $i$，图 $G$ 中存在 $k$ 个相邻节点，即 $G$ 是 $k$-正则图。若 $(i, j) \in E$，则 $i$ 和 $j$ 相对于 $v_i$ 和 $v_j$ 上的某个距离函数是“近”的。

目标是利用这 $T$ 个输入推导出一个线性变换 $H \in \mathbb{R}^{n \times n}$，使得对于输入 $i$，$Hv_i$ 仍然与其 $k$ 个最近邻接近，但与标签不同的输入 $j$（即 $y_i \neq y_j$）“远”。

这里定义了一些矩阵和集合：
- 设 $F = {(i, j, \ell) : (i, j) \in E, y_i \neq y_{\ell}}$。
- $L$ 表示与图 $G$ 相关联的拉普拉斯矩阵，$C = \begin{pmatrix} L & 0 \ 0