7、具有最优最坏情况访问时间的 O(log log n) 竞争二叉搜索树及稀疏扩张器的出现

具有最优最坏情况访问时间的 O(log log n) 竞争二叉搜索树及稀疏扩张器的出现

在数据结构和图论领域，二叉搜索树（BST）的性能优化以及稀疏扩张器的构建是重要的研究方向。下面将分别介绍具有最优最坏情况访问时间的 O(log log n) 竞争二叉搜索树，以及稀疏扩张器的出现机制。

具有最优最坏情况访问时间的 O(log log n) 竞争二叉搜索树

混合树数据结构

混合树数据结构通过一系列操作实现了 O(log log n) 的竞争性和 O(log n) 的最坏情况访问时间。具体操作如下：
1. 节点查找 ：从 A′ 的根节点开始，通过重复走向最左子节点（该子节点的子树中存在深度大于 d 的节点），在 O(log log n) 时间内找到深度大于 d 的最小键值节点 ℓ′，并定义 ℓ 为 ℓ′ 的前驱；对称地找到深度大于 d 的最大键值节点 r′，并定义 r 为 r′ 的后继。
2. 树分裂 ：
- 在 ℓ 处分裂 A′，得到两个子树 B 和 C，B 包含深度小于 d 的节点序列。
- 在 r 处分裂 C，得到子树 D 和 E，E 包含另一深度小于 d 的节点序列。
3. 子树转换 ：在 O(log log n) 时间内将子树 B 和 E 转换为路径。以 B 为例，在其根节点进行左旋转，直到其右子树为叶节点；然后根据根节点左子节点的情况进行右旋转或在左子节点进行左旋转。整个过程中，每个节点最多参与 3 次旋转，时间复杂度与 B 的大小呈线性关系。对 E 进行对称操作。
4. 合并