72、非线性椭圆系统与森林资源地理科学分析

非线性椭圆系统与森林资源地理科学分析

非线性椭圆系统的非平凡解

在数学领域，对于一类非线性椭圆系统的研究有着重要意义。我们先定义一些关键的函数和条件。

设 (H(x, u, v)) 是一个函数，定义 (h_1(x, u, v)=\frac{\partial H(x, u, v)}{\partial u})，(h_2(x, u, v)=\frac{\partial H(x, u, v)}{\partial v})。不失一般性，设定 (H(x, u, v)=\int_{(0,0)}^{(u, v)} h_1(x, s, w)ds + h_2(x, s, w)dw)。

同时，定义泛函 (\phi(u, v)) 为：
[
\phi(u, v)=\int_{\Omega}\left[\frac{1}{2}|\nabla u|^2 - F(x, u)\right]dx+\int_{\Omega}\left[\frac{1}{2}|\nabla v|^2-\frac{\lambda}{1 + \alpha}|v|^{1 + \alpha}-\gamma v\right]dx+\eta\int_{\Omega}H(x, u, v)dx
]
其中 (F(x, u)=\int_{0}^{u}f(x, s)ds)。泛函 (\phi) 的临界点就是问题 (P) 的解。

为了研究问题 (P) 的解，我们需要一些假设条件：
- 关于常数的假设 (g) ：(\gamma, \eta > 0)，(0 < \alpha < 1)，且 (\lambda\in(\lambda_k, \lamb