HDU 6305 RMQ Similar Sequence 笛卡尔树

最新推荐文章于 2019-07-19 10:33:17 发布

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分类专栏：数学数据结构

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本文探讨了RMQ问题的解决方法，并介绍了如何利用笛卡尔树来计算序列的RMQ相似性及其期望权重。通过概率计算和线性代数手段，文章详细解释了求解过程中的关键步骤。

题意：

给你一个序列a，定义RMQ(A,l,r) 为A序列 l到r中最大值的最小位置i。

RMQ相似即对于A,B两个序列，使得任意l ,r ， RMQ（A,l,r）= RMQ（B,l,r）

现在B序列元素的值均在[0,1]随机。如果B与A RMQ相似，则B的重量为B元素的和，否则为0。

求B的期望重量。

题解：

笛卡尔树正好可以代表任意的RMQ(A,l,r)。

对每个节点，都求一边他这个子树的大小a。要使他的该节点最大值，概率为1/a。所有节点概率乘一下即为B与A RMQ相似的概率。

由于值在[0,1]之间随机分布，所以重量的期望为n/2，与是否RMQ相似无关。所以最后期望值即为概率*n/2。

代码：

include<bits/stdc++.h>
#define fir first
#define sec second
#define pii pair<int,int>
#define debug(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl;
#define pli pair<ll,int>
#define chmax(x,y) x=max(x,y)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 1e9 + 7;
const ll INFLL = 1LL << 60;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1e6 + 7;

int stk[MAXN], top, l[MAXN], r[MAXN], vis[MAXN];
int a[MAXN];

ll ans;
ll inv[1000005];


int dfs(int now) {
    int num = 1;
    if(l[now]) num += dfs(l[now]);
    if(r[now]) num += dfs(r[now]);
    ans = ans * inv[num] % MOD;
    return num;
}

void build(int n) {
    int top = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) l[i] = 0, r[i] = 0, vis[i] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int k = top;
        while (k > 0 && a[stk[k - 1]] < a[i]) --k;
        if (k) r[stk[k - 1]] = i;
        if (k < top) l[i] = stk[k];
        stk[k++] = i;
        top = k;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) vis[l[i]] = vis[r[i]] = 1;
    int rt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) if (vis[i] == 0) rt = i;
    dfs(rt);
}

void gao() {
    inv[1]=1;
    for(int i = 2; i < 1000001; i++) inv[i]=inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen ("input.txt", "r", stdin);
#endif
    int T;
    cin >> T;

    gao();
    while(T--) {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        ans = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
        build(n);
        printf("%lld\n", ans * n % MOD * inv[2] % MOD);
    }

}