75、具有容量约束的并行机器调度高效PTAS

具有容量约束的并行机器调度高效PTAS

一、引言

在许多实际场景中，如大学学生分配、航空公司机组调度以及印刷电路板装配线优化等，都会遇到具有机器容量约束的调度问题（SMCC）。该问题旨在将不超过机器总容量的独立作业分配到多台相同机器上，同时最小化最大完工时间。

经典的无容量约束调度问题是组合优化和计算机科学中研究较多的NP难问题，已有多项式时间近似方案（PTAS）和高效多项式时间近似方案（EPTAS）。而对于有容量约束的调度问题，此前也有不少研究成果。

• 特殊情况 ：当机器容量相同时，即c - 划分问题，已有不同性能比的近似算法，如对于任意c，有性能比为4/3的近似算法。
• 一般情况 ：当机器容量不同时，也有多种近似算法，如Dell’Amico等人分析了其下界并给出启发式算法，Woeginger在机器数量固定时设计了FPTAS等。

本文提出了一种新的方法，通过建立非标准的整数线性规划（ILP）公式，并引入比例约束，结合贪心舍入技术，得到了一个高效的多项式时间近似方案（EPTAS）。

二、问题描述与初步准备

SMCC问题有m台相同机器，每台机器k最多可处理ck个作业，目标是将n ≤ ∑ck个独立作业分配到这些机器上，使最大完工时间最小。

标准整数线性规划（ILP）公式如下：

minimize
t
(1)
subject
to
n
∑
j=1
pjxjk ≤t,
1 ≤k ≤m
(2)
n
∑