16、边着色图上的不相交路径问题研究

边着色图上的不相交路径问题研究

1. MaxCDP与MaxCDDP算法差异

在边着色图中寻找不相交路径时，MaxCDP和MaxCDDP算法存在明显差异。对于MaxCDP，当考虑输入图的顶点覆盖作为参数时，可以安全地将长度为三的单颜色路径 ( s, v, t ) 添加到解决方案中。然而，MaxCDDP不允许这样做。

例如，对于颜色为 ( c ) 的长度为三的单颜色路径 ( s, v, t )，如果该路径属于MaxCDDP的一个解，它会阻止任何其他经过顶点 ( v ) 的单颜色路径 ( p’ )（颜色为 ( c’ )），以及任何颜色为 ( c ) 但不经过 ( v ) 的路径 ( p’’ ) 成为解的一部分。因此，将路径 ( s, v, t ) 添加到正在计算的解中可能会得到次优解，因为通过移除 ( p ) 并添加 ( p’ ) 和 ( p’’ )，可能会计算出更大的不相交颜色单颜色路径集。

2. l - MaxCDDP的固定参数算法

2.1 算法基础

为了解决l - MaxCDDP（MaxCDDP的长度受限版本，由解中不相交颜色单颜色 ( st ) - 路径的数量 ( k ) 参数化）问题，我们采用基于颜色编码技术的参数化算法。该算法受MaxCDP算法的启发，但需要结合两种不同的标签分配方式：一种用于标记属于单颜色路径的顶点，另一种用于标记与MaxCDDP的单颜色路径相关的颜色。

2.2 完美哈希函数

我们引入完美哈希函数的定义。从集合 ( U )（在颜色编码的传统应用中为顶点集）到标签集 ( {l_1, \ldots, l_k} ) 的哈希函数族 ( F ) 是 ( k ) - 完美的，如