9、强树宽度相关研究

强树宽度相关研究

1. 图的构造与强树宽度判定

在图论研究中，对于图的强树宽度（strong tree - breadth）的判定是一个重要问题。通过构造特定的图，我们可以在一定条件下建立不同图之间强树宽度的联系。

对于图 (G)，可以构造图 (G’ {\rho}) 和 (G^{+} {\rho})。构造 (G’ {\rho}) 可以在 (O(n^{2})) 时间内完成，构造 (G^{+} {\rho}) 可以在 (O(\rho\cdot n + m)) 时间内完成。结合相关引理，对于给定的图 (G)、(\rho) 和 (\rho’)，能够在 (O(\rho\cdot n^{2})) 时间内构造图 (H)，使得 (stb(G)\leq\rho) 当且仅当 (stb(H)\leq\rho’)。

同时，判定对于图 (G) 和给定的 (\rho)，是否 (stb(G)=\rho) 是一个 NP - 完全问题。

2. 多项式时间情况

一般情况下，确定图的强树宽度是 NP - 完全问题，但在某些情况下，我们可以在多项式时间内找到图的分解。

2.1 一般图

设 (G) 是具有强树宽度 (\rho) 的图，(T) 是对应的树分解。对于图 (G) 中的给定顶点 (u)，用 (C_{G}[u]) 表示 (G - N_{\rho}^{G}[u]) 中的连通分量集合。如果 (N_{\rho}^{G}[v]\supseteq N_{G}(C)) 且 (N_{\rho}^{G}[v]\cap C\neq\varnothing)，则称顶点 (v) 是 (u) 对于 (C\in