算法与数论中的核心问题解析

1、用b = B^l + m去除a = (a_{s - 1}a_{s - 2}…a_1a_0)_B，描述除法过程，以及用b = B^l - m去除a的过程。

当用 $ b = B^l + m $ 去除 $ a $ 时，若 $ l \geqslant s $，则 $ a < b $，除法完成；否则，将 $ m $ 乘以 $ a_{s - 1} $ 得到双精度字 $ (h\ l)_B $。

对于 $ l \geq 2 $，$ a_{s - 1}B^{s - 1 - l} b $ 的第 $ (s - 1) $ 个字节是 $ a_{s - 1} $，将商的第 $ (s - 1 - l) $ 个字节设为 $ a_{s - 1} $，把 $ a_{s - 1} $ 置为 0，从 $ a $ 的第 $ (s - l) $ 和第 $ (s - 1 - l) $ 个字节中减去 $ h $ 和 $ l $ 并进行借位调整。

若借位最终未被吸收，将 $ B^{s - 1 - l} b $ 加到负差值上，并从商的第 $ (s - 1 - l) $ 个字节减 1。

此时 $ a $ 变为
$$ a’ = (a’ {s’ - 1}a’ {s’ - 2}\ldots a’ 1a’_0)_B $$
其中 $ s’ = s - 1 $，重复上述步骤将 $ a’ {s’ - 1} $ 减为 0，持续此过程直到 $ a < b $，该值即为余数。

当用 $ b = B^l - m $ 去除 $ a $ 时，将 $ h $ 和 $ l $（而非相减）加到 $ a $ 的第 $ (s - l) $ 和第 $ (s - 1 - l) $ 个字节上并进行进位调整，这种情况下 $ a $ 不会为负，无需将 $ b $ 加到中间结果为负的 $ a $ 上。

2、(a) 对于范围 2 ⩽ i ⩽ k + 1 内的每个 i，有 ri−2 = qiri−1 + ri。证明 r1 ⩾ Fk+1 且 r0 ⩾ Fk+2。(b) 计算 ri = ri−2 rem ri−1，其中 0 ⩽ ri ⩽ ri−1 - 1。如果 ri > 1/2ri−1，用 ri−1 - ri 替换 ri。证明此变体的正确性。(c) 比较原始欧几里得算法的迭代次数 k 和修改后算法的迭代次数 k′。

(a) 因为 $ r_{i-2} > r_{i-1} $，所以 $ q_i \geqslant 1 $，进而 $ r_{i-2} \geqslant r_{i-1} + r_i $。已知 $ r_k \ne 0 $，即 $ r_k \geqslant 1 = F_2 $，且 $ r_{k-1} > r_k $，即 $ r_{k-1} \geqslant 2 = F_3 $。由此可得：
$$
r_{k-2} \geqslant r_{k-1} + r_k \geqslant F_3 + F_2 = F_4,
$$
$$
r_{k-3} \geqslant r_{k-2} + r_{k-1} \geqslant F_4 + F_3 = F_5,
$$
依此类推，可证明 $ r_1 \geqslant F_{k+1} $，$ r_0 \geqslant F_{k+