29、有限域 GF(2n) 中的高效幂运算

有限域 GF(2n) 中的高效幂运算

在有限域的运算中，幂运算是一个基础且重要的操作。本文将介绍一种基于高斯周期（Gauss period）的高效幂运算架构，适用于各类有限域 GF(2n)。

1. 基于类型 (n, k) 高斯周期的幂运算架构

设 α 是 GF(2n) 中类型为 (n, k)（k ≥ 2）的高斯周期，r = ∑(i = 0 到 n - 1) ri2^i，其中 ri = 0 或 1。
- 电路构建 ：
- 当 k 为偶数时，可构建一个线性阵列来计算 α^r，该阵列使用 n 个触发器（flip - flops）、n 个 2 - 1 多路复用器（MUXs）和最多 n(k - 1) 个异或门（XOR gates）。
- 当 k 为奇数时，最多需要 nk 个异或门。
- 系数结构与延迟 ：α^j 的每个系数由一个异或树组成，异或树中最多有 k - 1 或 k 个异或门。因此，每个异或树的深度最多为 ⌈log₂k⌉，该架构的关键路径延迟为 ⌈log₂k⌉DX + DM。

以下是一个示例，考虑有限域 GF(2¹¹⁸⁸)，已知其最低复杂度的本原高斯周期类型为 (1188, 19)，即 k = 19。在此情况下，架构需要 1188 个触发器和多路复用器，最多 21384 个异或门，关键路径延迟仅为 ⌈log₂19⌉DX + DM = 5DX + DM。当 n = 1194 时，GF(2¹¹⁹⁴) 中有类型为 (1194, 2) 的本原高斯周期，此时仅需 1194 个异或门，关键路径延迟为 DX + DM。

与 Wu 和 Hasan 提出的基于多项式