在两幅图像之间获得正确（最小二乘意义）仿射变换参数affine points via least square method

我有两个想要计算仿射运动模型参数的图像。我使用的模型是$$ x'= a_1x + a_2y + a_3 $$ $$ y'= a_4x + a_5y + a_6 $$为了计算这6个参数，我在两个图像之间选取了6个点（超定系统），并进行了计算这些参数使用MATLAB（A = X \ X_primes）。但是，当我应用转换时，即使我选择的点（X）也不会转换为指定的位置（X_prime）。我推断我的最小二乘解决方案应该是错误的，我正在寻找如何使其更好，即我应该在图像上选择什么样的点来获得更好的仿射运动模型参数？

X“= a1x + a2ÿ+ a3X“=一个1X+一个2ÿ+一个3

ÿ“= a4x + a五ÿ+ a6ÿ“=一个4X+一个五ÿ+一个6

为了计算这6个参数，我在两个图像之间选取了6个点（超定系统），并使用MATLAB（A = X \ X_primes）计算这些参数。但是，当我应用转换时，即使我选择的点（X）也不会转换为指定的位置（X_prime）。我推断我的最小二乘解决方案应该是错误的，我正在寻找如何使其更好，即我应该在图像上选择什么样的点来获得更好的仿射运动模型参数？

用线性最小二乘法求解仿射变换

\（\） 

线性最小二乘法是一种将模型拟合到数据的方法，其中数据和未知参数之间的关系可以以线性形式表示。
\（Ax = b \） \（X ^ {*} = \ underset {x} {\ mathrm {argmin}} = \ | Ax-b \ | ^ {2} =（A ^ {T} A）^ { -1} A ^ {T} b \）A x = b
X*= a r g m i nX= ∥ 甲X - b ∥2= （A.ŤA ）- 1一个Ťb

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61

function M= affine_least_square(x0,y0, x1,y1, x2,y2, xp0,yp0, xp1,yp1, xp2,yp2) % This function finds the affine transform between three points     % an affine transformation with a 3x3 affine transformation matrix:   %   % [M11 M12 M13]   % [M21 M22 M23]   % [M31 M32 M33]     %Since the third row is always [0 0 1] we can skip that.     % [x0 y0 1  0  0  0 ]     [M11]   [xp0]   % [0  0  0  x0 y0 1 ]     [M12]   [yp0]   % [x1 y1 1  0  0  0 ]     [M13]   [xp1]   % [0  0  0  x1 y1 1 ]  *  [M21] = [yp1]   % [x2 y2 1  0  0  0 ]     [M22]   [xp2]   % [0  0  0  x2 y2 1 ]     [M23]   [yp2]                              %         A            *    X   =  B   %A -> 6x6   %X -> 6x1 in fact   %X=A\B       A=[x0 y0 1  0  0  0 ; 0  0  0  x0 y0 1 ; x1 y1 1  0  0  0 ; 0  0  0  x1 y1 1 ; x2 y2 1  0  0  0;0  0  0  x2 y2 1]; B=[xp0; yp0; xp1;  yp1; xp2 ; yp2 ];     % X=A\B;   % this is what we need but accroding to https://www.mathworks.com/matlabcentral/newsreader/view_thread/170201   %The following is better:   X=pinv(A)*B;   M11 =X(1,1); M12 =X(2,1);   M13 =X(3,1); M21 =X(4,1); M22 =X(5,1); M23 =X(6,1); M=[ M11 M12 M13; M21 M22 M23; 0 0 1]; end

并测试代码：

MATLAB

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

clc; clear all; %This is a simple test that project 3 point with an affine trasnform and   %then tries to find the transformation:   % tform.T and M' should be equal     %Points are located at:   x0=0; y0=0; x1=1; y1=0; x2=0; y2=1;   p1=[x0,y0; x1,y1; x2,y2];   %We rotate them (a roll-rotation around Z axes) theta degree, first   %building the rotation matrix   theta=24; A11=cosd(theta); A12=-sind(theta); A21=sind(theta); A22=cosd(theta); %Translation part   Tx=1; Ty=2;   tform = affine2d([A11 A12 0; A21 A22 0; Tx Ty 1]); fprintf('3x3 transformation matrix:') tform.T   [x,y]=transformPointsForward(tform,p1(:,1),p1(:,2)); fprintf('transformed points:') [x,y]     xp0=x(1,1); yp0=y(1,1); xp1=x(2,1); yp1=y(2,1); xp2=x(3,1); yp2=y(3,1);       %finding the tranformation matrix from set of points and their respective   %transformed points:   M=affine_least_square(x0,y0, x1,y1, x2,y2, xp0,yp0, xp1,yp1, xp2,yp2); fprintf('3x3 affine transformation matrix from least_squares:') M'   tform = affine2d(M'); [x,y]=transformPointsForward(tform,p1(:,1),p1(:,2));