【原创】【HZOI】天明（数学贪心）

最新推荐文章于 2019-09-09 19:18:00 发布

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☆☆★★★哦有点难度呢

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天明为了证明自己的智商，寻找了一种特殊的智力测试方法：将一个数分解为若干个互不相等数的和，使乘积最大化。本文详细解析了这一问题的解决思路和算法实现，展示了如何通过优化数列分配获得最佳结果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

天明

题目描述

话说，自从天明那次看到高月驾驶机关兽后，心里十分痒痒，于是找到高月，要她教自己驾驶机关兽。
高月：“我可是学了一年呐！”
而且，说实话，高月觉得以天明的智商，机关术可能有点……
于是乎，天明决定向月儿证明，自己的智商没有问题！

天明四处打听，终于打听到了一种测智商的方法：将一个给定的数分成若干个互不相等的数的和，使得分成的数的乘积最大，分成的数的乘积代入到一个正相关的函
数中所得的值就是自己的智商。
所以，你需要帮助天明，让他可以为自己开出一张“高智商”证明。（就是作弊
啦……）

输入

仅一行，一个整数 n，就是你要分解的那个数。（其中1 ≤ n ≤ 1000）

输出

一个整数，就是 n 分解成若干个互不相等的数的最大乘积。

样例输入

样例输出

分析

说在前面

为什么同一道题写两篇博客？
而且同一天发？
代码还一模一样？

不知道。

分析

通过膜法/玄学/直觉/知识积累/打表/数学太好直接推/找呀找呀找规律，我们可以得出结论，在“互不相等”的前提下，拆的项越多，积越大。

在这个前提下，对于给定数n：
把n拆成n=(2+3+4+5+6+…+t)+k的形式；（2~t是等差数列，但是n多数情况无法恰好拆成等差数列的形式，一般还剩一个小尾巴。。。。如果不剩？就很偷税的直接 $2 * 3 * 4 * 5 * 6 * . . . * t$ 了啊！）

k一定与2~t中的某一个数重复了，所以现在我们要进行的操作就是把k用膜法融入2~t中，以得到一个不重复的加数数列。

从k=1开始分析吧，我们能想到的就是把这个1加到t上面去，这样就得到了n=1+2+3+…+(t-2)+(t-1)+(t+1)；否则无论把1丢到2~t-1中，都会产生重复。

k=2的时候，就有两种选择了，其一是让t+=2，其二是t++,(t-1)++。（应该懂得起吧，就是指让第t个加数从t变为t+2，后者类似）
这两种哪种更优呢？

第一种方法的乘积为ans1=(t-1)!*(t+2)
第二种方法的乘积为ans2=(t-2)!*t*(t+1)
则ans1/ans2=(t-1)*(t+2)/[t*(t+1)]<1（亲自算一算，定能解百愁）
∴ans2>ans1
第二种方法更优。

对于更大的k，应该有类似的结论，就可以得出我前一篇blog所得出的结论：

记数列A是满足A[i]=2+3+…+i的数列，则：
①若n=A[t]，则ans=t!即 $2 * 3 * 4 * . . . . . . * t$ ；
②若n∈[A[t]+1,A[t+1]-2]，将t!后面的n-A[t]项都加上1，再乘起来。（这个情况可以包含①）
③若n=A[t+1]-1，将2到t的每个数都加上1后，最后一项再加上一，即 $a n s = 3 * 4 * 5 * . . . * (t - 1) * t * (t + 2)$

代码

#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAXN=1000+20;
int x,cnt,weis,help[MAXN],tosum[MAXN];
long long arr[MAXN];

int main()
{
	for(int i=2;help[i-1]<=1200;i++) help[i]=help[i-1]+i;
	scanf("%d",&x);
	int i,k=2;
	while(x>=help[k]) k++; k--;
	for(i=2;i<=k;i++) tosum[++cnt]=i+(i>(k-x+help[k]));
	if(x==help[k+1]-1) tosum[cnt]++;
	
	weis=1; arr[1]=1;
	for(i=1;i<=cnt;i++)
	{
		for(int j=1;j<=weis;j++) arr[j]*=1LL*tosum[i];
		for(int j=1;j<weis;j++)
			arr[j+1]+=arr[j]/10,arr[j]%=10;
		if(arr[weis]>10) arr[weis+1]=arr[weis]/10,arr[weis]%=10,weis++;
	}
	for(int j=weis;j>=1;j--) printf("%lld",arr[j]);puts("");
} 



没有写博客的状态力……