【原创】【组合数学】Uva1635 无关的元素

无关的元素

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题目

题目描述

对于给定的n个数a1，a2，…，an，依次求出相邻两数之和，将得到一个新数列。重复上述操作，最后结果将变成一个数。问这个数除以m的余数与哪些数无关？

例如n=3，m=2时，第一次求和得到a1+a2，a2+a3，再次求和得到a1+2a2+a3，它除以2的余数和a2无关。

输入

第1行：2个整数n和m（1<=n<=10^5, 2 <=m<=10^9）

输出

按升序列出与m无关的元素的序号，每行1个。

若与全部元素无关，输出0

样例输入

5 3

样例输出

3

分析

在手动推了很多几次以后，我们可以鲸讶地发现，合并之后的系数就是杨辉三角！也就是组合。
所以说，题目变成了杨辉三角第n层有几个数被m整除。

当然，肯定不能直接求杨辉三角。
杨辉三角第i排第j个的值实际上是C[i-1,j-1]，
而组合数有这样一个公式：C[n,k]=C[n,k-1]*(n-k+1)/k
//n的含义发生改变

如果C[n,k]整除m，则C[n,k-1]也整除m。//以上言论没有经过验证
所以只需看(n-k+1)/k是否整除m。//但这句话是正确的

判断整除，可以分解质因数之后比较质因数的个数。
注意，C[n,k]的质因数个数是要继承C[n,k-1]的！！！
//我就是这里没搞懂

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
#define ll long long

int p[100],cm[100],cc[100],cnt,n,m;
bool ch(int a,int b)
{
    int x,y;
    x=a-b+1;
    y=b;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        //cc[i]=0;
        while(x%p[i]==0) x/=p[i],cc[i]++;
        while(y%p[i]==0) y/=p[i],cc[i]--;
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        if(cc[i]<cm[i]) return 0;
    return 1;
}

int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=2;i*i<=m&&m>1;i++)
        if(m%i==0)
        {
            p[++cnt]=i;
            while(m%i==0) m/=i,cm[cnt]++;
        }
    if(m>1) cnt++,p[cnt]=m,cm[cnt]++;

    bool flg=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(ch(n-1,i-1)) printf("%d\n",i),flg=1;
    if(!flg) puts("0");
    return 0;
}
////C[n,k]=C[n,k-1]*(n-k+1)/k;