【原创】快速模取幂和O(1)模取乘

模取幂和模取乘

说在前面

数论复习 Part 1。
FLG的顺序是可以换的，从自己只会皮毛的东西整收益最大。
（指自己咕咕咕了自己更差的DP）
瞎写吧，随便拾遗。

模取幂

我以前也写过一篇模取幂，写的是（儒雅随和），不用去看了。

分析

现在我们要求$a^b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)$，$\Theta (b)$的时间复杂度不行。
我们知道$a^{p+q}=a^p\ast a^q$，于是我们把$b$二进制一下，比方说$设ans=3^{19}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$，$(19{)}_{10}=(10011{)}_2$，则$ans=3^{2^0}\ast 3^{2^1}\ast 3^{2^4}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$。
结束了。
如果还要加几句的话，$3^{2^i}=(3^{2^{i-1}}{)}^2$。

代码

int ksm(int a,int b,int c)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) (ans*=a)%=c;
		(a*=a)%=c,b>>=1;
	}
}

模取乘

分析

类似的，我们更知道$a\ast (p+q)=a\ast p+a\ast q$，于是我们二进制分解……
不过这次是把$\Theta (1)$劣化到$\Theta (lo{g}_{2}n)$级别，这是在乘法会爆的情况才采用的不得已的方法。

代码

int mul(int a,int b,int c)
{
	int ans=0;
    while(b)
    {
		if(b&1) ans=(ans+a)%c;
		b>>=1; a=(a<<1)%c;
	}
	return ans;
}

$\Theta (1)$模取乘

分析

我们把两个$10^{18}$的数乘起来会发生什么？会炸掉？会循环，$9223372036854775807+x会变成-9223372036854775808+x-1$。你做个试验就会发现了。
怎么规避负数然后取模呢？
这样，$-9223372036854775808+a\ast b-1-(-9223372036854775808+\lfloor \frac{a\ast b}{c}\rfloor \times c-1)=a\ast b-\lfloor \frac{a\ast b}{c}\rfloor \times c=a\ast b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c$。
如果long double也救不了你的话就算了。

代码

LL mul(LL a,LL b,LL c)
{
	return ((a*b-(LL)((long double)a/c*b+1e-8)*c)%c+c)%c; 
}

Master Yi的惨痛教训教会我们，以下写法更不容易挂掉。

LL mul(LL a,LL b,LL c)
{
	a%=c,b%=c;
	return ((a*b-(LL)((long double)a/c*b+1e-8)*c)%c+c)%c; 
}