算法分析与设计---迭代法求解递推方程

1.迭代法

• 步骤

  • 不断将递推方程的右部替代左部
  • 直到出现初值
  • 将初值带入，进行化简
  • 用数学归纳法进行验证
• 备注：迭代法也可以进行换元后进行如例三

• 例子

  • 汉诺塔问题
    • T(n)=2T(n-1)+1
    • T(1)=1

    • T(n) = 2 T(n-1) + 1

      = 2[2T(n-2) + 1] + 1

      = 2^2 T(n-2) + 2 + 1

      ......

      = 2^(n-1)T(1) + 2^(n-2)+2^(n-3)+...+2+1

      =2^(n-1) + 2^(n-1)-1= 2^n-1

      T(1)=1, 2^(n-2)+2^(n-3)+...+2+1等比数列

    • 数学归纳法验证：
      • 第一步：n=1:T(0)=0,T(1)=1
      • 第二步：假设n时，T(n)=2^n-1成立
      • 第三步：带入n+1

      • T(n+1)=2T(n)+1

        =(2^n-1)*2+1

        =2^(n+1)-2+1

        =2^(n+1)-1 

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