神机百炼3.55-匈牙利算法

最新推荐文章于 2024-08-26 09:15:00 发布

原创最新推荐文章于 2024-08-26 09:15:00 发布 · 408 阅读

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#算法 #深度优先 #链表 #图论 #数据结构

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本文详细介绍了匈牙利算法在二分图最大匹配问题中的应用，包括算法原理、实现步骤及代码实现，并通过实例讲解了如何高效解决此类问题。

匈牙利算法导图

食用指南：

对该算法程序编写以及踩坑点很熟悉的同学可以直接跳转到代码模板查看完整代码
只有基础算法的题目会有关于该算法的原理，实现步骤，代码注意点，代码模板，代码误区的讲解
非基础算法的题目侧重题目分析，代码实现，以及必要的代码理解误区

题目描述：

给定一个二分图，其中左半部包含 n1 个点（编号 1∼n1），右半部包含 n2 个点（编号 1∼n2），二分图共包含 m 条边。
数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。
请你求出二分图的最大匹配数。
二分图的匹配：给定一个二分图 G，在 G 的一个子图 M 中，M 的边集 {E} 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称 M 是一个匹配。
二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。

输入格式
第一行包含三个整数 n1、 n2 和 m。
接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示左半部点集中的点 u 和右半部点集中的点 v 之间存在一条边。

输出格式
输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。

数据范围
1≤n1,n2≤500,
1≤u≤n1,
1≤v≤n2,
1≤m≤10⁵
输入样例：
2 2 4
1 1
1 2
2 1
2 2
输出样例：
2
题目来源：https://www.acwing.com/problem/content/863/

题目分析：

匈牙利算法的基本应用场景-求二分图最大匹配
图论中两部分点数n1 & n2都在500范围内
最大边数可达500 * 500 = 250000
可以采用邻接表存储，共500列邻接表，每列邻接表含有500个节点。

也可以采用邻接矩阵存储，亦为500*500大小
下面来讲O(mn)解决二分图最大匹配的匈牙利算法 — 又称找对象算法

算法原理：

模板算法：

传送门：邻接表/邻接矩阵
传送门：DFS
传送门：n皇后问题

匈牙利算法：

1. 存储形式：

将二分图中点划分为两部分：男生 & 女生
男生为主动尝试匹配的一方。
男生的目标女生：

邻接表中h[x]下拉的每一个节点val[]，都是男生的目标女生，最终男生和其中的一个女生构成匹配。
女生的对象数组：

fa[x] = y，表示女生x的对象是男生y
对象冲突记录：

comm[x] = 1，表示现在女生x在已有男友fa[x]的情况下，出现其他男生希望与x匹配。

2. 算法核心：

最大匹配的任务就是妥善解决**对象冲突**问题
对象冲突：

当男生y希望匹配已经有对象fa[x]的女生x时，称为发生对象冲突。
解决方式：

尝试让女生x的男友fa[x]，去匹配他的其余目标女生。

若匹配成功，则y充当女生x的男友；

若匹配失败，则y继续寻找他的下一个目标女生。

3. 复杂度分析：

对于每个男生都要尝试进行匹配，耗时O(n)
每个男生最坏结果就是向所有目标女生都尝试匹配，之后才知道匹配成功/失败，耗时O(m)
总耗时O(mn)

写作步骤：

对于每个男生y，为其匹配女生均经过两步：

1. 清空冲突，遍历目标女生集：

清空上个男生进行匹配时造成的冲突数组comm[N]
遍历h[y]连接的所有节点，val[]为女生序号

2. 尝试与无对象冲突的女生匹配

对象冲突的标记只用于女生x的原配男生fa[x]尝试换个女生时，避免与x匹配，
对象冲突标记其实不影响y这一次尝试与x匹配，毕竟尝试前一定无冲突，尝试后也不一定造成冲突。

3. 若女生x无对象：

男生y直接成为女生x的对象，fa[x]=y，匹配结束。

4. 若女生x有对象：

为女生x标记对象冲突，尝试让x的原配fa[x]在其目标女生中寻找非x的女生匹配。

fa[x]另匹配成功，则y成为x的对象，y也匹配成功。

fa[x]另匹配失败，则fa[x]还是x的对象，y去匹配其余目标女生。

代码实现：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 510, M=100010;	//点数500，边数可上万，静态单链表idx可上万
int h[N], val[M], ne[M];
int idx;
void add(int x, int y){
    val[idx] = y;
    ne[idx] = h[x];
    h[x] = idx++;
}
int fa[N];
bool comm[N];
bool dfs(int x){
    for(int i=h[x]; i!=-1; i=ne[i]){
        if (!comm[val[i]]){         //在没有对象冲突的女生中寻找对象(这句话主要针对发生冲突时，原配男友换女生时不再考虑原配女生)
            if (!fa[val[i]]){       //该女生没有男友，则x直接充当其男友
                fa[val[i]] = x;
                return 1;
            }else {                 //该女生有男朋友，则此时x和其原配男友构成对象冲突，尝试让原配男友换一个女生
                comm[val[i]] = 1;
                if (dfs(fa[val[i]])){
                    fa[val[i]] = x;
                    comm[val[i]] = 0;
                    return 1;
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}
int n1, n2, m;
int main(){
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >>n1 >>n2 >>m;
    int a=0, b=0;
    while(m--){
        cin >>a >>b;
        add(a, b);
    }
    int res = 0;
    for(int i=1; i<=n1; i++){
        memset(comm, 0, sizeof comm);
        if (dfs(i)){
            res++;
        }
    }
    cout<<res <<endl;
    return 0;
}

代码误区：

1. 为什么每个男生匹配前要将冲突集合都清空？

在这个男生进行匹配前，所有冲突不是由他引发，与他要进行匹配无关。
原来存在过对象冲突的女生，在解决一次对象冲突之后，还可以继续和其余男生产生对象冲突。
男生必须尝试与发生过对象冲突的女生匹配，毕竟该女生的现任男友在匹配到该女生后就停止匹配了。也就是现任男友未和所有目标女生进行匹配，则不知道现在的二分图匹配数是不是MAX。