【难】求数组中最长递增子序列，时间复杂度O(nlogn)

最新推荐文章于 2023-07-16 08:12:11 发布

bupt8846

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分类专栏：程序员面试题文章标签： c++ 程序员面试

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/bupt8846/article/details/43448949

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该博客介绍了如何在O(nlogn)的时间复杂度下，利用二分查找优化算法来解决求解数组中最长递增子序列的问题。博主详细解释了如何构建长度为length+1的数组MinV，并强调了数组的升序性质在算法中的关键作用。

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题目：《编程之美》 P194

写一个时间复杂度尽可能低的程序，求一个数组（length个元素）中最长递增子序列的长度。

注意，本题认为最长递增子序列可以有相等的元素，如 (1,2,2,3,3,4,5,6)。

时间复杂度为O(n^2)的程序思路很简单，参考书上的解法一。针对O(n^2)的解法进行改进，利用有序数组的二分查找，可以使得时间复杂度降低。本题的难点在于，建立一个长度为length+1的数组MinV，MinV[i]代表着长度为i的递增子序列最大元素的最小值。而且数组MinV是升序的，理解这一点尤其关键。

以下是时间复杂度为O(nlogn)的代码：

//在有序数组MinV中，从下标1到endindex的部分，寻找小于等于k的数中最大的那个数，返回其下标
//若所有数都大于k，返回-1
int Find_Less_Than_K(const int* MinV,const int endindex,const int k)
{
	int left=1,right=endindex,res=-1;
	while(left<=right)
	{
		int mid=left+(right-left)/2;
		if(MinV[mid]<=k)
		{
			res=mid;
			left=mid+1;
		}
		else
			right=mid-1;
	}
	return res;
}

int longest_increasing_subsequence(const int* arr,const int length)
{
	if(arr==nullptr || length<=0)
		return -1;
	int* LIS=new int[length];
	int* MinV=new int[length+1];
	for(int i=0;i<length;i++)
	{
		LIS[i]=1;
		MinV[i]=INT_MAX;
	}
	MinV[length]=INT_MAX;
	MinV[1]=arr[0];
	int res=1,endindex=1;
	for(int i=1;i<length;i++)
	{
		int index=Find_Less_Than_K(MinV,endindex,arr[i]);
		if(index!=-1)
		{
			LIS[i]=index+1;
			if(LIS[i]>res)
			{
				res=LIS[i];
				endindex=res;
			}
		}
		if(arr[i]<MinV[LIS[i]])
			MinV[LIS[i]]=arr[i];		
	}
	delete[] MinV;
	delete[] LIS;
	return res;
}