[LeetCode 327] Count of Range Sum

最新推荐文章于 2022-04-14 14:23:59 发布

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本文介绍了一种高效的算法，用于计算数组中区间和落在指定范围内的数量。通过使用归并排序和multiset数据结构，实现了优于朴素O(n^2)的时间复杂度。

题目描述

Given an integer array nums, return the number of range sums that lie in [lower, upper] inclusive.
Range sum S(i, j) is defined as the sum of the elements in nums between indices i and j (i $\leq$ j), inclusive.

Note:
A naive algorithm of O( $n^2$ ) is trivial. You MUST do better than that.

Example:
Given nums = [-2, 5, -1], lower = -2, upper = 2,
Return 3.
The three ranges are : [0, 0], [2, 2], [0, 2] and their respective sums are: -2, -1, 2.

Credits:
Special thanks to @dietpepsi for adding this problem and creating all test cases.

Link:
https://leetcode.com/problems/count-of-range-sum/description/

解决方案

本题是求数组的区间和在给定范围内的个数。数组的区间和s(i,j)指的是索引在i与j(i $\leq$ j)之间的所有元素的和，给定范围在[lower,upper]之间，求出所有满足lower $\leq$ s(i,j) $\leq$ upper的区间[i,j]的个数。

由之前类似的题目Range Sum Query - Immutable，Range Sum Query 2D - Immutable 和 Range Sum Query - Mutable，求区间和的问题一般是先计算累加和sums[i]=nums[0]+nums[1]+ ··· +nums[i]，则s(i,j)=sums[j]-sums[i]。

通过参考资料，解决该题的基本思想是：

对累加和数组的某个元素sums[i]，对其之后（或之前）的元素进行排序。
对于有序序列sorted[start,end]，找出满足sorted[j] $\geq$ lower的第一个sorted[j]和满足sorted[k] $>$ upper的第一个sorted[k]，则k-j即为数组中在[lower,upper]范围内的所有元素的个数。

下面是两种解法，其中解法一被使用和引用的最多。

解法一

采用“归并排序（Merge Sort）”来求解，基本思路是将累加和数组sums[start,end]分为左右两半，其中左半部[start,mid)和右半部[mid,end)先分别递归调用解法一求出各自的满足条件的区间和个数，并完成各自部分的排序。然后再将已经排好序的左右两部进行归并，完成整体排序。在整体排序过程中，遍历左半部分的sums[i]，找出右半部分的sums[j]和sums[k]，使其满足：

sums[j]是第一个满足 sums[j] $-$ sums[i] $\geq$ lower 的元素。
sums[k]是第一个满足 sums[k] $-$ sums[i] $>$ upper 的元素。

则k-j便是在[lower,upper]之间的区间和的个数。因为采用自底向上的归并排序，所以保证了对每一个sums[i]，能够找到其后所有满足条件的sums[j]和sums[k]。

在整体排序的过程中，还需要一个缓存数组cache来存储每次遍历i时的左右半排序结果，通过复制完成sums[start,end]间的整体排序。

以下为源码：

//C++ Merge Sort
class Solution {
public:
    int countRangeSum(vector<int>& nums, int lower, int upper) {
        int len=nums.size();
        vector<long long> sums(len+1,0);
        for(int i=0;i<len;i++){
            sums[i+1]=sums[i]+nums[i];
        }

        return countAndMergeSort(sums,0,len+1,lower,upper);        
    }
    int countAndMergeSort(vector<long long>& sums,int start,int end,int lower,int upper){
        if(end-start<=1)return 0;
        vector<long long> cache(end-start);
        int middle=(start+end)/2;

        int cnt=countAndMergeSort(sums,start,middle,lower,upper)+
            countAndMergeSort(sums,middle,end,lower,upper);
        int j=middle,k=middle,t=middle;
        int r=0;
        for(int i=start;i<middle;++i){
            while(j<end && sums[j]-sums[i]<lower)j++;
            while(k<end && sums[k]-sums[i]<=upper)k++;
            while(t<end && sums[t]<sums[i])cache[r++]=sums[t++];
            cache[r++]=sums[i];
            cnt+=k-j;
        }
        copy(cache.begin(),cache.begin()+r,sums.begin()+start);
        return cnt;
    }
};

解法二

使用multiset，遍历nums[i]，逐一将i位置的累加和插入到multiset中，保证已经插入的累加和有序。对于位置i，multiset中已经有按序排列的前i个累加和。目标是找到i前的满足条件lower $\leq$ sums[i] $-$ sums[j] $\leq$ upper 的sums[j]的个数，即寻找满足条件 sums[i] $-$ upper $\leq$ sums[j] $\leq$ sums[i] lower 的两个临界值之间的元素个数。临界值可以使用lower_bound（返回有序集合中大于等于给定值的第一个数）和upper_bound（返回有序集合中大于给定值的第一个数）来求得。

以下为源码：

//C++ multiset
class Solution {
public:
    int countRangeSum(vector<int>& nums, int lower, int upper) {
        multiset<long long> sums;
        sums.insert(0);
        int res=0;
        long long sum=0;
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            sum+=nums[i];
            res+=distance(sums.lower_bound(sum-upper),sums.upper_bound(sum-lower));
            sums.insert(sum);
        }
        return res;

    }
};