跳表
针对链表这种数据数据结构，捎加改造，可以支持类似“二分”的查找算法，这就是跳表。
如何理解跳表
对于单链表来说，即使存储的数据是有序的，如果在链表中查找某个数据，也只能从头到尾依次遍历，时间复杂度会很高,是O(n)。
对于单链表如何提高查找效率呢？可以类似图中如下做一级“索引”，这样子查询起来就会快很多，每两个节点抽取一个结点到上一级，可以把抽取出来的叫作索引。图中down表示down指针，指向下一级。
以查找6为例，首先可以遍历一级索引，当遍历到节点为5时，索引的下一个节点为7，大于需查找到6，则通过down指针向下一级，在原始链表中查找，现在再通过以down指针指向的5为起点，向后遍历，但遍历一次，就找到了我们需要查找的6。相比于原始链表的遍历，通过一级索引的方式，我们将原始需要6次的遍历，减少到了5次。
那如果再加一级索引呢？
以查找8为例，首先在二级索引遍历，当遍历到节点为5时，二级索引的下一个节点为9，大于查找的8，则通过二级索引的5的down指针向下一级，在一级索引中查找。一级索引以5为起来，向后遍务，找到7时，一级索引的7的下一个节点为9，大于查找的8，通过一级索引的7的down指针向下一级，原始链表则以7为起点，向后遍历，即可得到8，相比原始链接，通过增加两级索引，将链表中的遍历次数从8次减少到6次。
在例子中，数据量不大，仅几个数据，所以即便是增加两级索引，效果也不明显。那来个数据大点的直观显示吧！
这里我画了7个顶点，建立了5级索引。
图示为数据为1至72，查找70，仅需9次，即可找到70，效率提升是非常明显的。
跳表的时间复杂度？
单链的时间复杂度是O(n)，那跳表的时间复杂度呢？是什么呢？
假设一个链表中有n个节点，每两个节点向上抽出一个节点作为上一级的索引节点，那上一级节点个数大约为n/2,那第二级的节点个数大约就是n/4,第三级节点的个数大约就是n/8,依次类推至，第K级索引结点个数就是K-1级索引结点个数的二分之一，那K级结点的个数就是n/(2的k次方)
假设有s级，最高级的索引有2个结点，通过公式 ，可得到n/(2的s次方)=2，那s=log2n-1,那跳表的高度就是log2n,在跳表中查询时，如果每一层都要遍历m个节点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是O(m*logn)
跳表的空间复杂度
比起单纯的单链表，跳表需要存储多级索引，肯定要消耗更多的存储空间。那需要消耗多少呢？
假设原始链表大小为n，第一级大约有n/2个结点,第二级大约有n/4个顶点，第三级大约有n/8个顶点，依次类推，每上升一级就减少一半，直到剩下2个结点，如果把每一层写出不就是一个等比数列：
n/2,n/4,n/8,…8,4,2
这几级索引节点和就是n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2
所以跳表的空间复杂度为O(n)
跳表的代码实现
跳表是一种动态数据结构，不仅支持查找操作，还支持动态的插入、删除操作，而且插入、删除操作的时间复杂度为O(logn)
跳表作为一种动态数据结构，需要一种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡，也就是说，当链表中的结构多，索引中的节点就应该增加一些，避免复杂度退化，以及查找、插入、删除性能的下降。跳表是通过随机函数来维护这一“平衡性”。通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如索引值K，那就将这个结点插入到第一级至第K级索引中。
随机函数的选择很有讲究，从概率上来讲，能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性，不至于性能过度退化。
开始跳表的代码吧。就从添加开始吧。
public class SkipList {
/** 当前最大层级 */
private final int maxLevel;
/** 随机函数 */
private Random rand = new Random();
/** 根节点 */
private Node root;
/** 当前的层级数 */
private int levelNum;
public SkipList(int maxLevel) {
this.maxLevel = maxLevel;
this.root = new Node();
}
/**
* 跳表插入节点
*
* @param value 数据
*/
public void add(int value) {
// 1,通过随机函数决定叶子节点数
int level = this.randomLevel();
// 节点信息
Node tempNode = new Node();
// 保存值
tempNode.data = value;
// 最大层级
tempNode.nodeMaxLevel = level;
// 跳表的前指针位置记录
Node[] nodeForward = new Node[level];
// 1,将跳表都指向头节点
for (int i = 0; i < level; i++) {
nodeForward[i] = root;
}
// 进行跳表的查找，找到每一层该插入的位置。记录到nodeForward中
Node nodeTmp = root;
for (int i = level - 1; i >= 0; i--) {
// 从最顶层的节点开始
while (nodeTmp.forward[i] != null && nodeTmp.forward[i].data < value) {
nodeTmp = nodeTmp.forward[i];
}
// 设置当前跳表层的位置。
nodeForward[i] = nodeTmp;
}
// 按索引层的插入点位置插入节点
for (int i = 0; i < level; i++) {
tempNode.forward[i] = nodeForward[i].forward[i];
nodeForward[i].forward[i] = tempNode;
}
// 设置当前跳表的层级
if (levelNum < level) {
this.levelNum = level;
}
}
/**
* 随机生成跳表的层级
*
* <p>跳表使用随机函数，做到大致分布均匀。
*
* @return 跳表的层级
*/
private int randomLevel() {
int level = 1;
for (int i = 1; i < maxLevel; i++) {
if (rand.nextInt() % 2 == 0) {
level++;
}
}
return level;
}
/**
* 检查一个数是否存在于跳表中
*
* @param value 当前待查找的值
* @return true 存在，false 不存在
*/
public boolean find(int value) {
Node node = root;
// 按层级向下进行索引搜索
for (int i = levelNum - 1; i >= 0; i--) {
if (node.forward[i] != null && node.forward[i].data < value) {
node = node.forward[i];
}
}
if (node.forward[0] != null && node.forward[0].data == value) {
return true;
} else {
return false;
}
}
/**
* 执行删除操作
*
* @param targetValue 目标值
*/
public void delete(int targetValue) {
// 1,找到每一层中的删除的前一个顶点
Node[] levelNodes = new Node[maxLevel];
Node tempNode = root;
for (int i = maxLevel - 1; i >= 0; i--) {
while (tempNode.forward[i] != null && tempNode.forward[i].data < targetValue) {
tempNode = tempNode.forward[i];
}
levelNodes[i] = tempNode;
}
// 将每层中的结果进行移除操作
if (tempNode.forward[0] != null && tempNode.forward[0].data == targetValue) {
for (int i = maxLevel - 1; i >= 0; i--) {
if (levelNodes[i].forward[i] != null && levelNodes[i].forward[i].data == targetValue) {
levelNodes[i].forward[i] = levelNodes[i].forward[i].forward[i];
}
}
}
}
/** 跳表的存储节点信息 */
class Node {
/** 用于存储数据,默认为-1 */
private int data = -1;
/** 跳表的节点 */
private Node[] forward = new Node[maxLevel];
/** 当前节点的最大层级 */
private int nodeMaxLevel;
@Override
public String toString() {
final StringBuilder sb = new StringBuilder("Node{");
sb.append("data=").append(data);
sb.append(", forward=").append(Arrays.toString(forward));
sb.append(", nodeMaxLevel=").append(nodeMaxLevel);
sb.append('}');
return sb.toString();
}
}
}
插入操作
以插入来讲解吧，如果明白了插入，其他都是操作都是类似的。
还是来举个例子吧，假设已经存在如下图所示的跳表，插入16，这个数据。
这个节点的插入分为这样几步：
-
构建16这个数据项的结点，生成随机的索引层数。示例生成为3层
-
根据随机函数生成的结果3，找到这3层中16这个结点的插入位置。将位置的结果记录到nodeForward中。
// 跳表的前指针位置记录 Node[] nodeForward = new Node[level]; // 1,将跳表都指向头节点 for (int i = 0; i < level; i++) { nodeForward[i] = root; } // 进行跳表的查找，找到每一层该插入的位置。记录到nodeForward中 Node nodeTmp = root; for (int i = level - 1; i >= 0; i--) { // 从最顶层的节点开始 while (nodeTmp.forward[i] != null && nodeTmp.forward[i].data < value) { nodeTmp = nodeTmp.forward[i]; } // 设置当前跳表层的位置。 nodeForward[i] = nodeTmp; }
按层搜索的起点定为root，从root节点开始，将索引层找到的离插入点最近的结点记录到nodeForward中。
-
将构建的16这个数据及索引插入到跳表中，通过之前找到的位置nodeForward，将索引项的每层都插入指定层中，插入完成后，nodeForward变成了如下所示：
// 按索引层的插入点位置插入节点 for (int i = 0; i < level; i++) { tempNode.forward[i] = nodeForward[i].forward[i]; nodeForward[i].forward[i] = tempNode; }
由于nodeForward数组是跳到中的一部分节点，当数据插入后，整个跳表就变成了如下所示：
就这样将数据插入到了跳表中。
查询操作
还是以刚刚的跳表为例，来查找28这个数据吧，搜索相对于添加来说就简单多了，直接使用一个指针按层向下搜索即可
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使用一个指针搜索向下搜索。
Node node = root; // 按层级向下进行索引搜索 for (int i = levelNum - 1; i >= 0; i--) { if (node.forward[i] != null && node.forward[i].data < value) { node = node.forward[i]; } }每一个层找仅查找比当前目标数小的数据，通过“i”（可以理解为down指针）即向下搜索。当搜索完毕，即找到了离28最近的值，26这个顶点。
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在原始链表那层向后检查下是否为目标值，即可确认是否为搜索目标值。
if (node.forward[0] != null && node.forward[0].data == value) { return true; } else { return false; }
搜索的原理也解释完毕了。
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总结
跳表使用空间换时间的设计思路，通过构建多级索引来提高查询效率。实现了基于链表的“二分查找”，跳表是一种动态数据结构，可以快速的插入、删除、查询，而且时间复杂度都为O(logn),跳表的空间复杂度为O(N).跳表相比对其他动态数据结构，链表支持区间搜索的时间复杂度也是O(logn)，这也可能是redis使用跳表来实现有序集合的一个原因，另一个原因，可能就是跳表实现起来更容易一点吧。
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