推荐系统之矩阵分解算法

矩阵分解算法是一种将矩阵分解为几个较小矩阵乘积的技术，广泛用于推荐系统、信号处理、数据压缩等领域，大致的矩阵分解算法有如下几种：
1.奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）
2.非负矩阵分解（Non-negative Matrix Factorization, NMF）
3.交替最小二乘法（Alternating Least Squares, ALS）
4.隐语义模型（Latent Semantic Analysis, LSA）
5.概率矩阵分解（Probabilistic Matrix Factorization, PMF）
6.主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）
7.隐狄利克雷分配（Latent Dirichlet Allocation, LDA）
8.张量分解（Tensor Factorization）
以上矩阵分解算法在推荐算法中各有优劣和适用的场景。本章只介绍前五种较为常用的算法。
奇异值分解（Singular Value Decomposition: SVD）
奇异值分解：是线性代数中一个重要的矩阵分解，是特征分解在任意矩阵上的推广。一种将任意矩阵分解为三个特定矩阵的乘积的方法。该算法有两种表达形式。在数据领域的复数矩阵中，对于任意的 m×n 矩阵 A，SVD 将其分解为一个 m×m 的正交矩阵 U，一个 m×n 的对角矩阵 Σ，和一个 n×n 的正交矩阵 V*。即为：
A = UΣV*
而在实际的应用场景中，我们通常处理的是实数矩阵，表达公式可为：其中( U )和( V )是正交矩阵，( Σ )是对角矩阵。
A = UΣV^T
应用步骤
1.收集数据：首先需要收集用户对物品的评分数据，这些数据通常表示为用户-物品评分矩阵，其中行代表用户，列代表物品，矩阵中的元素是用户对物品的评分。
1.预处理数据：对评分矩阵进行预处理，包括处理缺失值、归一化评分等。在许多情况下，评分矩阵是非常稀疏的，因为大多数用户只对极少数物品进行评分。
2.分解矩阵：使用SVD算法将用户-物品评分矩阵分解为三个矩阵：( U )（用户隐因子矩阵）、(