数理统计基础

数理统计

词汇对照表

术语	英文	解释
总体	population
样本	sample
离散性	dispersion
众数	mode	随机变量中观测值出现次数
中位数	median
极差	Range	最好与最坏的差

中心趋势度量

• 算术平均（arithmetic mean）
  $$\overline{X}=\frac{\sum_{i=1}^NX_{i}}{N}$$
• 几何平均（geometric mean）
  $$G=\sqrt[n]{X_{1}*X_{2}*\cdots*X_n}$$
• 加权平均（weighted mean）
  $$\overline{X}_w=\sum_{i=1}^nw_iX_i$$
• 调和平均（harmonic mean）
  $$\overline{X}_H=\frac{n}{\sum_{i=1}^n(1/X_i)}$$

（PS:调和平均<几何平均<算术平均)

离散程度度量

• 极差（Range）
  $$Range=Maximum Value - Minimum Value$$
• 均值绝对偏差（mean absolute deviation） MAD
  $$MAD=\frac{\sum_{i=1}^n|R_i-\overline{R}|}{n}$$
• 方差（variance）
  $$\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^N(R_i-\overline{R})^2}{N}$$
• 标准差（standard deviation）
  $$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$$

偏度

Skewness衡量偏离程度，用来描述分布的对称性；

右偏（Positive Skewed）左偏（Negative Skewed）

正太分布的偏度为0；

峰度

kurtic描述分布陡缓程度；

高峰（lepto kurtic） 低峰（platy kurtic）

正态分布的峰度为3；高峰肥尾

变异系数与夏普比率

• 变异系数

未来比较不同金融产品的波动性，必须将波动性标准化； 变异系数即每一单位均值包含的标准差；

$$CV=\frac{s}{\overline{X}}$$
夏普比率（Sharpe ratio）

考虑风险，综合衡量指标；投资者承担单位风险的收益率；风险小，夏普高；收益高，夏普高；

$$Sharpe ratio =\frac{\overline{R_p}-\overline{R_f}}{\sigma_p}$$
其中 $\overline{R_p}$是资产组合平均收益率； $\overline{R_p}-\overline{R_f}$超额收益率； $\sigma_p$是资产组合收益率的标准差；