8、偏微分方程时空积分及抗体结合动力学解析

偏微分方程时空积分及抗体结合动力学解析

1. 偏微分方程时空积分问题

在偏微分方程（PDE）的求解中，有时会出现解在某些边界处出现不现实的失真情况。例如，即使使用了 van Leer 通量限制器，解在 z = 1 处仍有不现实的失真。为了尝试解决这个问题，我们对编程进行了一个小的改动，考虑在点 n（z = 1）使用方程（1.28），并根据边界条件（1.29b）将导数 (∂u/∂z) 设置为零。以下是相关代码：

% Temporal derivative
for i=2:n-1
    ut(i)=D*uzz(i)-v*uz(i)-kr*u(i);
end
ut(1)=0; ut(n)=D*uzz(n)-kr*u(n);

然而，结果表明，这种改变（对于 ncase = 1, 2, …, 5）并没有消除 z = 1 处的失真，与之前的编程结果类似。这表明在 z = 1 处使用包含边界条件（1.29b）的方程（1.28），在消除失真方面基本没有效果。

2. 抗体结合动力学模型

接下来，我们考虑一个由常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）耦合的应用示例，该模型与光纤生物传感器抗体表面上分析物（如抗原）的传输和结合动力学有关。

2.1 ODE/PDE 模型方程

• PDE 方程 ：定义分析物浓度 c(z, t) 的 PDE 是经典的一维扩散方程，即笛卡尔坐标系中的傅里叶热传导第二定律（或菲克质量扩散第二定律）：
  [
  \frac{\partial c}{\