计算两个数的最大公约数 gcd(a,b)

本文详细介绍了计算两数最大公约数的有效算法，包括朴素枚举法、辗转相除法（欧几里得算法），并给出了定理证明及C++实现代码。

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求两个数a和b的最大公约数，可以想到的是从[1,min(a,b)]枚举每个正整数：

#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
	int ans=1;
	for(int i=2;i<=min(a,b);++i)
	{
		if(a%i==0 && b%i==0)
			ans=i;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	int a,b;
	cin>>a>>b;
	cout<<gcd(a,b);
	return 0;
}

不过当a和b规模比较大时，这种算法是不够快的。有更快更优雅的算法。

首先给出一个定理：

gcd(a,b)=gcd(b,a-b) (a>=b)

证明：

设gcd(a,b)=m (m>=1)

则a%m=0,b%m=0

(a%m-b%m)%m=0

(a-b)%m=0

因为a%m=0,b%m=0,(a-b)%m=0,gcd(a,b)=m

所以gcd(a,b,a-b)=m;

下面证明gcd(b,a-b)=m，然后可以得到gcd(a,b)=gcd(b,a-b)。

设c=a-b

因为gcd(a,b,c)=m;

所以gcd(b,c)!=m的充要条件是存在一个数d (d>=1)使得(b/m)%d=0且(c/m)%d=0且(a/m)%d!=0。

下面用反证法：

设存在这样的d

(c/m)%d=0

((a-b)/m)%d=0

((a/m)-(b/m))%d=0

((a/m)%d-(b/m)%d)%d=0

已知(b/m)%d=0，代入得((a/m)%d)%d=0

又已知(a/m)%d!=0，所以(a/m)%d的结果属于(0,d)

而x属于(0,d)，x%d不可能等于0，因此矛盾。

所以不存在这样的d

所以gcd(b,a-b)=gcd(b,c)=m

gcd(a,b)=gcd(b,a-b) (a>=b) 该定理证明完毕

于是就可以用这个算法来计算，其中gcd(a,0)=a：

#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
	if(b==0)
		return a;
	if(a<b)
		swap(a,b);
	return gcd(b,a-b);
}
int main()
{
	int a,b;
	cin>>a>>b;
	if(a<b)
		swap(a,b);
	cout<<gcd(a,b);		
	return 0;
}

当然数据规模大的时候栈可能会溢出，所以改成非递归即可。

还可以更快？（感谢一位同学的证明）

再给出第二个定理：

gcd(a,b)=gcd(b,a-k*b) 其中k=0,1,2,3,4...且a>=k*b

这个定理证明同上

经化简可得下面这个定理：

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

这就是辗转相除法（欧几里得算法）。

#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
	if(b==0)
		return a;
	return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
	int a,b;
	cin>>a>>b;
	cout<<gcd(a,b);		
	return 0;
}