软件测试（第2版）_Paul学习04_01——Ch3测试人员的离散数学

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本文介绍软件测试中的数学基础，包括集合论、函数、关系、命题逻辑及概率论的基本概念。重点探讨了这些数学原理如何应用于功能性测试，提高测试的效率与准确性。

除了其他生命周期活动外，测试本身还要进行数学描述和分析。这里给出的数学方法就是工具，测试工程师应该清楚地了解如何使用这些工具。通过这些工具，测试人员会变得严格、精确和高效，所有这些都会改进测试。一般来说，离散数学更适用于功能性测试，而图论更适合结构性测试。本章只讨论离散数学，主要包括集合论、函数、关系、命题逻辑和概论的一些基本内容，如需深入研究和学习还需参考专门的资料。

3.1 集合论

关于集合没有一个严格和精确的定义，可理解为一个包含了一些元素的整体。比如M1 = {4月，6月，9月，11月}，表示"M1是元素为4月、6月、9月、11月的集合"

集合成员关系：集合中的项叫做集合的元素或成员，这种关系适用符号∈表示，比如4月∈M1，12月∉M1

集合的定义方式：

简单列出集合的元素，Y={1812,1813，……，2011,2012}
给出决策规则，Y={年：1812≤年≤2012}
采用决策规则的优点是：无歧义要求使定义很清晰。有经验的tester都经历过"不可测试的需求。"很多时候出现这种情况的原因是：这种不能测试的需求来源于歧义的决策规则。第二个优点：利于适用决策表进行分析和设计。
采用决策规则的缺点：有可能在逻辑上太复杂。
通过其他集合构建。

韦恩（Venn）图：也叫文氏图，用于显示元素集合重叠区域的图示，集合被表示为一个圆圈，圆圈中的点表示集合元素。

有30天的月份集合的韦恩图

集合操作：

A∩B = {x：x∈A ∧ x∈B}

A∪B = = {x：x∈A ∨ x∈B}

A' = {x：x∉A}

A - B = {x：x∈A ∧ x∉B}

A⊕B = {x：x∈A ⊕ x∈B}

A⊕B = （A∪B）- （A∩B）

无序对偶：（a，b）

有序对偶：<a，b>

两者的差别是，对于a≠b，（a，b）=（b，a），但是<a，b>≠<b，a>

两个集合的笛卡尔积，是集合A×B = {<x,y>：x∈A ∩ y∈B}

集合关系：

A是B的子集，A⊆ B

A是B的真子集，A⊂B

A和B是相等集合，A=B

子集的划分

集合的一个划分是一种非常特殊的情况，对于测试人员非常重要。"划分"的含义是将一个整体分成小块，使得所有事物都在某小块中，不会遗漏。

定义：

给定集合B，以及B的一组子集A1、A2、……、An，这些子集是B的一个划分，当且仅当：

A1∪A2∪…∪An = B，且i≠j → Ai∩Aj = ∅

划分的韦恩图

第一部分保证B的所有元素都在某个子集中

第二部分保证B没有元素在两个子集中

划分对测试人员很有用，因为两个界定性质会产生重要保证：完备性和无冗余性。当研究功能性测试时，我们会看到功能性测试的固有弱点是漏洞和冗余性：有些内容没有被测试，而另外一些内容被测试多次。

功能性测试的主要困难之一，就是找出合适的划分。

例如：三角形问题的划分

三角形和非三角形
等边三角形、等腰三角形、不等边三角形和非三角形
等边三角形、等腰三角形、不等边三角形、直角三角形和非三角形
初看起来这些划分没有问题，但是仔细研究会发现最后一个划分有一个问题，即不等边三角形和直角三角形并不是不想交的。也就是不满足第二部分保证：i≠j → Ai∩Aj = ∅
集合恒等式：
名称
表达式
等同律

A∪∅=A

A∩U=A

支配律	A∪U=U
	A∩∅=∅
幂等律

A∪A=A

	A∩A=A
求反律	（A'）'=A
交换律

结合律

分配率

	A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）
迪摩根定律	（A∪B）' = A'∩B'
	（A∩B）' = A'∪B'

3.2 函数

函数是软件开发和测试的核心概念。例如，整体功能分解范例就隐含使用了函数的数学概念。所有的功能性测试的基础都是函数。

定义：给定集合A和B，函数f是A×B的一个子集，使得对于ai、aj∈A，Bi、Bj∈B，

f（ai）=bi，f（aj）=bj，定义域A，值域B。

函数的类型：

上函数：f是A到B的上函数，当且仅当f（A）= B

中函数：f是A到B的中函数，当且仅当f（A）⊂B

一对一函数：……

多对一函数：……

函数的合成：

h。g。f（a）= h（g（f（a）））

= h（g（b））

= h（c）

= d

函数合成链对于测试人员可能是一个问题，尤其是当一个函数的值域是函数合成链"下一个"函数定义域的真子集时。

数据流图中的因果流和非因果流

3.3 关系

集合之间的关系：

定义：给定两个集合A和B，关系R是笛卡尔积A×B的一个子集。

定义：给定两个集合A和B，一个关系，关系R的势是：

一对一势，当且仅当R是A到B的一对一函数

多对一势，当且仅当R是A到B的多对一函数

一对多势，当且仅当至少有一个元素a∈A在R中至少有两个有序对偶

多对多势，当且仅当至少有一个元素a∈A在R中至少有两个有序对偶，且至少有一个元素b∈B在R中至少有两个有序对偶

定义：给定两个集合A和B，一个关系，关系R的参与是：

全参与，当且仅当A中的所有元素都在R的某个有序对偶中

部分参与，当且仅当A中有元素不在R的有序对偶中

上参与，当且仅当B中的所有元素都在R的有序对偶中

中参与，当且仅当B中有元素不在R的有序对偶中

测试人员需要关心关系的定义，因为关系的定义直接与被测软件性质有关。例如，上参与/中参与的差别，直接与我们称之为基于输出的功能性测试有关。

单个集合上的关系：

我们使用两种重要的数学关系，即排序关系和等价关系。

定义：设A是一个集合，是定义在A上的一个关系，<a，a>、<a，b>、<b，a>、<b，c>、<a，c>∈R，关系具有四个特殊属性：

关系是：

自反的，当且仅当所有a∈A，<a，a>∈R

对称的，当且仅当

<a，b>∈R

<b，a>∈R

反对称的，当且仅当<a，b>∈R 、<b，a>∈Ra=b

传递的，当且仅当

<a，b>、<b，c>∈R

<a，c>∈R

关系是排序关系，如果R是自反、反对称和传递的。

排序关系在软件中很常见：数据访问手段、杂凑代码、树形结构和数组，都利用了排序关系。

关系是等价关系，如果R是自反、对称和传递的

如果从定义在一个集合上的等价关系开始，则可以根据与该等价关系相关的元素定义子集。这就是划分，叫做由等价关系归纳的划分。这种划分中的集合叫做等价类。最终结果是划分和等价关系可以相互交换，而这一点对于测试人员来说是很重要的概念。划分有两个性质，即完备性和无冗余性。将这些性质带到测试领域中，可使测试人员做出关于软件已经测试的广度的有力、绝对的说明。不仅如此，只测试等价类中的一个元素，并假设剩余的元素有类似的测试结果，可大大提高测试效率。

与关系相关的测试方法：等价类