hdoj 1576 A/B [扩展欧几里得.逆元]

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本文介绍了一种解决A/B取模问题的算法，利用扩欧算法和数学思维两种方法求解(A/B)%9973，其中A很大，只给出了A%9973的值n，且A能被B整除，B与9973互质。

A/B

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 4431 Accepted Submission(s): 3428

Problem Description

要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。

Input

数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。

Output

对应每组数据输出(A/B)%9973。

Sample Input

2
1000 53
87 123456789

Sample Output

7922
6060

一，扩欧：

A/B=x ---->A=Bx;

n=A%9973 ----->A=9973*y+n;

得：

Bx+9973y=n

BX1+9973Y1=Gcd(B,9973)=1;

所以：x=X1*n

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
void swap(int x,int y)
{
	int t;
	t=x;x=y;y=t;
}
void Exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)//&x,&y 为x,y的地址 
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return ;
	}
	else
	{
		Exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=(a/b)*x;
	}
}
int main()
{
	int t;	
	long long n,B;
	long long x,y;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%lld%lld",&n,&B);
		if(B<9973)
			swap(B,9973);
		Exgcd(B,9973,x,y);
		x=x*n;	
		x=((x%9973)+9973)%9973;	//x可能为负数 
		printf("%lld\n",x);
	}
	return 0;
}

二，数学思维（求余）

设 X= （A/B）%9973, ----->A/B=9973*m+X ----->A=9973*m*B+X*B ;

设 n=A%9973 ----->A=9973*k+n ;

化简：BX - n =9973 （m-Bk）常数满足（BX -n）%9973==0 其中（x<=9972）

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
int main()
{
	int t,n;
	LL B;	//要开到 long long 
	int x;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d%lld",&n,&B);
		for(int i=0;i<9973;i++)
		{
			if((B*i-n)%9973==0)
			{
				
				x=i;
				break;		
			}
		}
		printf("%d\n",x);
	}
	return 0;
}