12、分数阶PID控制器设计详解

分数阶PID控制器设计详解

1. 引言

分数阶微积分是数学的一个领域，处理非整数阶的导数和积分。过去二十年间，科学家和工程师重新发现了分数阶微积分，并将其应用于越来越多的领域，特别是控制理论。分数阶比例 - 积分 - 微分（FOPID）控制器近年来受到了学术界和工业界的广泛关注。与标准PID控制器相比，FOPID控制器在设计上更具灵活性，因为它有五个参数可供选择（而非三个），但这也意味着其参数调整更为复杂。

本文将研究一些知名的FOPID控制器调整方法，包括优化方法、Ziegler - Nichols调整规则和Padula & Visioli方法，并给出相关示例。所有模拟均使用MATLAB的Ninteger工具箱进行。

2. 分数阶微积分

2.1 定义

分数阶微积分中常用的微分积分算子 $\frac{D_{a}^{q}t}{}$ 是一个组合的微分 - 积分算子，其定义如下：
[
\frac{D_{a}^{q}t}{} =
\begin{cases}
\frac{d^{q}}{dt^{q}}, & q > 0 \
1, & q = 0 \
\int_{a}^{t} (\cdot) d\tau^{-q}, & q < 0
\end{cases}
]
其中，$q$ 是分数阶，可为复数，$a$ 和 $t$ 是运算的上下限。常见的分数阶导数定义有Grunwald - Letnikov、Riemann - Liouville和Caputo定义。
- Grunwald - Letnikov定义：