57、多项式近似因子下格问题的复杂度探究

多项式近似因子下格问题的复杂度探究

1. 格问题中的不等式推导

在格问题的研究中，有如下重要的不等式推导。首先，存在这样的等式：
[
\frac{1}{N}\sum_{j = 1}^{N}\langle x, w_j\rangle^2 = \frac{1}{N}x^TWW^Tx \leq \frac{1}{N}\frac{3N}{10000} = \frac{3}{10000}
]
这里的不等式是通过将 (x) 在 (WW^T) 的特征向量基下表示得到的。接着，利用不等式 (\cos x \geq 1 - \frac{x^2}{2})（对于任意 (x \in R) 都成立），可以得到：
[
f_W(x) = \frac{1}{N}\sum_{j = 1}^{N}\cos(2\pi\langle x, w_j\rangle) \geq 1 - \frac{4\pi^2}{2N}\sum_{j = 1}^{N}\langle x, w_j\rangle^2 \geq 1 - \frac{6\pi^2}{10000} > \frac{1}{2}
]

2. 零知识证明系统

在之前的讨论中，关于NP、coNP和coAM的包含关系可以等价地用一个计算能力无界的证明者和一个多项式时间验证者之间的证明系统来表述。具体如下：
- 定理1对应的证明系统 ：为coGapCVP(\sqrt{n}) 提供了一个证明系统，在这个系统中，证明者只需向验证者发送一条消息，然后验证者决定是否接受。
- 定理2对应的证明系统 ：为coGapC