49、密码系统的安全性分析与相关问题研究

密码系统的安全性分析与相关问题研究

1. 引言

在密码学领域，多种加密方案被提出以满足不同的安全需求和应用场景。本文将探讨Paillier、RSA - Paillier（RSAP）加密方案，以及离散对数问题中的Hensel提升结果和Diffie - Hellman问题的比特安全性。

2. Paillier和RSA - Paillier加密方案

2.1 Paillier加密方案

1999年，Paillier提出了基于“复合剩余类问题”的加密方案。该问题定义如下：
设$N = pq$为RSA模数，$g$是$\mathbb{Z} {N^2}^ $中阶为$N$的倍数的元素。给定$c \in \mathbb{Z}_{N^2}^ $，找到$m$使得$c g^{-m} \bmod N^2$是$N$ - 剩余。若存在$r \in \mathbb{Z} {N^2}^ $使得$r^N \equiv h \bmod N^2$，则称$h \in \mathbb{Z}_{N^2}^ $是$N$ - 剩余，记$m = \mathrm{Class}_{g,N}(c)$。

该问题还有一个判定变体：给定$c$和$m$，判定$m = \mathrm{Class}_{g,N}(c)$是否成立。

在Paillier加密方案中，加密过程如下：
- 对于$m \in \mathbb{Z}_N$，生成随机$r \in \mathbb{Z}_N^*$。
- 密文$c = r^N g^m \bmod N^2$。

解密过程如下：
- 计算$