13、图的度关联边重构数与多边形遍历近似算法

图的度关联边重构数与多边形遍历近似算法

1. 图的度关联边重构数

在图论中，度关联边重构数（dern）和度关联边重构数（adern）是两个重要的概念。对于完全二部图 (K_{m,n}) 和平衡完全三部图 (T_{3,n})，有以下相关结论。

1.1 完全二部图 (K_{m,n}) 的情况

由于所有的度关联边卡（da - ecards）都是同构的，所以 (adern(K_{m,n}) = dern(K_{m,n}))。设 (G = K_{m,n}) 的二部划分为 ((A, B))，其中 (|A| = m)，(|B| = n)，(G) 有 (mn) 个度关联边卡，都同构于 ((m + n - 2, K_{m,n}-e))。在度关联边卡 ((m + n - 2, K_{m,n}-e)) 的任何生成子图中，有 (m + n - 2 = 2n - 1)，(m + n - 2 = 2n)，(m + n - 2 = 2m - 1) 或 (m + n - 2 = 2m)。因为 (m\leq n)，可简化为以下两种情况：
- 情况 1：(n = m + 1)
- 此时，(B) 中度数为 (m) 的顶点与度数为 (m - 1) 的顶点相连。显然 (m\geq2)（否则生成子图与 (G) 同构）。
- 当 (m = 2) 时，(G) 同构于 (K_{2,3})，且 (dern(G)=3)。由于 (K_{2,3}) 的所有度关联边卡都是同构的，所以 (dern(G)=adern(G)=3)。
- 当 (m\geq3) 时，生成子图有 (m - 1(\geq2)) 个三角形，每个三角形以新添加的边为底边。因此，移除新添加的边