32、计数最小草图保守更新策略的分析与相变现象

计数最小草图保守更新策略的分析与相变现象

1. 引言

在处理输入流中键的均匀分布假设下，对计数最小草图（Count - Min Sketch）的保守更新策略进行分析。研究发现，草图的行为在很大程度上取决于底层哈希超图的属性。假设哈希函数完全独立，草图产生的误差根据底层超图的密度遵循两种不同的机制。

2. 定理扩展与模拟实验

2.1 定理 3 的扩展

定理 3 的证明可扩展到 $k \geq 3$ 且 $\lambda > \hat{\lambda} k$ 的情况，其中 $\hat{\lambda}_k$ 是一个阈值，超过该阈值时，$H {k,n,\lambda n}$ 的巨型组件大概率有比顶点更多的边。分析表明 $\hat{\lambda}_k$ 存在且可明确计算，例如 $\hat{\lambda}_3 \approx 0.94$，$\hat{\lambda}_4 \approx 0.98$。不过，我们认为可剥离阈值 $\lambda_k$ 才是定理 3 中 $k \geq 3$ 时的正确临界值，这在后续模拟中得到了支持。

2.2 模拟实验

为了说明定理 2 和定理 3 中的相变现象，进行了模拟实验。实验设置如下：
- 实验在 $n = 1000$ 的 $N$ - 均匀模型下运行，每个边以概率 $1/m$ 独立抽取，$N = 50000$（步数为 $N \cdot |E|$）。
- 对于每个 $\lambda$，对 15 个随机图取平均值。

实验结果如图 1 所示，展示了常规计数最小和保守更新策略下，平均相对误差 $err_N(H_{k,n,