31、计数近似中的相变：保守更新的Count - Min Sketch分析

计数近似中的相变：保守更新的Count - Min Sketch分析

1. 引言

Count - Min sketch是一种基于哈希的数据结构，用于近似表示动态变化的计数器关联数组。它将一组键映射到计数器数组，支持对键的计数查询。在数据流场景中，计数器会随着键的出现动态更新。

相关的数据结构还包括Spectral Bloom过滤器和Counting Bloom过滤器。Count - Min sketch要求哈希函数的值域不相交，而Spectral Bloom过滤器的哈希函数映射到同一个数组。本文主要讨论Spectral Bloom过滤器版本，但使用更常见的Count - Min sketch术语。

当更新值为负时，Count - Min sketch需满足严格的非负计数器条件（严格旋转门模型）。而在正更新的情况下，可采用保守更新策略，该策略能减少查询误差。正更新在实际应用中很常见，如网络流量监测和生物信息学中的序列计数。

虽然保守更新的误差小于普通Count - Min，但精确界定误差是一个挑战。普通Count - Min能以高概率保证加法误差被界定，但在实际应用中，由于输入流长度可能很大，该界的实用性有限。因此，分析保守更新策略相对于原始Count - Min sketch的改进具有重要的实际意义。

2. Count - Min与保守更新

• Count - Min工作原理 ：Count - Min sketch是一个大小为n的计数器数组A，初始值为0，同时有k个哈希函数h1, …, hk将键映射到[1..n]。处理键p时，每个计数器A[hi(p)]（1 ≤ i ≤