28、节点扩展下保持三连通分量的方法与应用

节点扩展下保持三连通分量的方法与应用

在图论的研究中，节点扩展操作是一种重要的动态操作，它可以改变图的结构和性质。本文将详细介绍在节点扩展过程中如何保持图的三连通分量，并探讨相关操作在同步平面性问题中的应用。

1. 扩展骨架分解中的节点扩展

节点扩展操作是将图中的单个顶点 $u$ 扩展为任意连通图 $G_ν$。具体步骤如下：
- 通过双射 $\varphi$ 将 $G_ν$ 中的 $|N(u)|$ 个标记顶点与 $u$ 的邻居顶点进行匹配。
- 移除顶点 $u$ 及其关联边。

为了确保插入的图 $G_ν$ 在连通性上与被替换的顶点 $u$ 具有相同的“保证”，要求 $G_ν$ 在所有标记顶点合并为一个顶点时是双连通的。这样可以保证旧图可以通过收缩插入图的顶点来恢复。

操作 InsertGraph(S, u, G_ν, φ) 会产生一个扩展骨架分解 $S’ = (G’, origV’, origE’, twinE’, twinV’)$，具体操作如下：
- 将 $G_ν$ 视为骨架并添加到 $G’$ 中。
- 对于 $G_ν$ 中的每个标记顶点 $x$，设置 $origV’(x) = origV(\varphi(x))$。
- 对于 $G_ν$ 中的其他顶点和边，设置 $origV’$ 和 $origE’$ 指向在 $G_{S’}$ 中形成 $G_ν$ 副本的新顶点和边。
- 使用占用边将 $G_ν$ 中的每个标记顶点连接到一个新的虚拟顶点 $v’ \in G_ν$。
- 将 $v$ 转换为虚拟顶点，将其关联边转换为占用边并移除平行边。
- 设置 $twi