19、动态流与时间相关容量的研究

动态流与时间相关容量的研究

1. 引言

网络流是一种成熟的方法，用于对通过可表示为图的系统进行货物或数据运输建模。动态流（有时称为随时间变化的流）通过考虑穿越每条边所需的时间，引入了时间因素。福特和富尔克森证明了某些动态流问题可以通过简化为静态流来解决。然而，许多考虑拥塞和时间相关网络的高级模型会导致NP难问题。

为了深入理解这些高级动态流设置，我们将研究具有时间相关容量或时间相关传输时间的典型扩展的结构和计算复杂性。

2. 相关背景

在现实世界的网络中，容量往往是动态变化的。文献中考虑了几种推广情况：
- 拥塞建模网络 ：边的传输时间可能取决于在其上路由的流量。
- 独立于路由流量的网络变化 ：可以对网络的已知物理变化进行建模，并考虑由外部实体引起的随时间变化的整体拥塞情况。
- 不同的流量目标 ：例如在疏散场景中，流量需要在所有时间内最大化到达量，而不仅仅是在考虑的时间间隔结束时。

大多数通过流量相关传输时间建模拥塞的问题都是NP难的。在某些情况下，流量问题甚至是强NP难的，并且除非P = NP，否则不存在ε近似算法。在允许在顶点存储流量的情况下，如果存在时间相关的容量或传输时间，可能会有伪多项式算法。

3. 预备知识

我们考虑具有有向边和指定源顶点 (s) 与目标顶点 (t) 的动态网络 (G = (V, E))。每条边 (e = (v, w) \in E) 具有时间相关的非负容量 (u_e : [0, T] \to R^+_0)，表示在每个时间