Nim or not Nim? HDU - 3032 先通过sg打表，找出规律再 O(n) 解决-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/bloom_er/article/details/113774958

本文探讨了一种博弈论游戏，玩家可以选择移除石子或将石子堆分为两部分。通过分析Sprague-Grundy函数的特性，文章提出了一种有效的策略来确定游戏的赢家。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

有两种选择：①移除堆里面的一些石子 ②将一个堆的石子分成两份
由于这题 $S_I$ 的范围在 $2^{31}-1$ 的范围内，无法进行 $s g$ 函数的预处理，所以只能选择先将 $s g$ 函数的一部分表打出来，找出规律再对每个数进行处理。
根据题目意思，首先第一步可以得出对于 $j∈[1,ai−1]j\in[1,a_i-1]$ ,有 $v i s [s g [j]] = t r u e$
根据第二步，可以将一个堆分成两份，假设第一份的数量为 $x$ ,得出 $vis[sg[x]⊕sg[ai−x]]=truevis[sg[x]\oplus sg[a_i-x]]=true$
最后打出表的规律后，发现只有三种情况：当 $x%4==0x\%4==0$ 对应的 $s g$ 值为 $x - 1$ ，当 $x%4==3x\%4==3$ 对应的 $s g$ 值为 $x + 1$ ，其余情况为 $x$ 。
最后利用这个规律对每个 $s g$ 值进行 $⊕\oplus$ 即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uii;
typedef pair<int, ll> pii;
template<typename T>
inline void rd(T& x)
{
	int tmp = 1; char c = getchar(); x = 0;
	while (c > '9' || c < '0') { if (c == '-')tmp = -1; c = getchar(); }
	while (c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
	x *= tmp;
}
const int N = 2e5 + 10;
const int M = 1e7 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int n, m, k;
int sg[N];
bool vis[N];
void SG(int x) {
	memset(vis, false, sizeof(vis));
	for (int i = 0; i < x; ++i) vis[sg[i]] = true;
	for (int j = 1; j <= x / 2; ++j) vis[sg[j] ^ sg[x - j]] = true;
	for (int i = 0;; ++i) {
		if (!vis[i]) {
			sg[x] = i;
			return;
		}
	}
}
int get(int x) {
	if (x % 4 == 0) return x - 1;
	else if (x % 4 == 3) return x + 1;
	return x;
}
int main() {
#ifdef _DEBUG
	//	FILE* _INPUT = freopen("input.txt", "r", stdin);
		//	FILE* _OUTPUT = freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif // !_DEBUG
	int cas = 0, T = 0;
	sg[0] = 0;
	//打表如下
	//for (int i = 1; i <= 100; ++i) {
	//	SG(i);
	//	printf("%d :%d\n", i, sg[i]);
	//}
	rd(T);
	while (T--) {
		//	while (~scanf("%d", &n)) {
		int n; rd(n);
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			int x; rd(x);
			sg[i] = get(x);
		}
		int ans = 0;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) ans ^= sg[i];
		if (ans) puts("Alice");
		else puts("Bob");
	}
	return 0;
}