**随机游动**是一种最基本的马尔可夫过程，用来描述一个粒子在状态空间中每一步以一定概率向邻近状态移动的随机行为

随机游动（Random Walk）

随机游动是一种最基本的马尔可夫过程，用来描述一个粒子在状态空间中每一步以一定概率向邻近状态移动的随机行为。它广泛应用于物理、金融、计算机科学、生物学等领域，是理解扩散现象、布朗运动和马尔可夫链的基础模型。

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一、基本定义

设 $ {Z_n}_{n=1}^\infty $ 是一组独立同分布（i.i.d.）的随机变量，取值于整数集或实数集，表示每一步的“跳跃增量”。

定义随机游动为：
$$X_0=x,X_n=x+\sum _{k=1}^n{Z}_k,n\ge 1$$
其中 $ x $ 是初始位置。

📌 若无特别说明，通常考虑从原点出发：$ X_0 = 0 $。

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二、经典类型

1. 简单对称随机游走（Simple Symmetric Random Walk, SSRW）

• 状态空间：整数集 $ \mathbb{Z} $
• 每步以概率 $ \frac{1}{2} $ 向左或向右移动一格：
  $$P(Z_k=+1)=P(Z_k=-1)=\frac{1}{2}$$
• 转移规则：
  $$X_n=X_{n-1}\pm 1\text{各以 }\frac{1}{2}\text{ 概率}$$

✅ 这是最常见的离散时间马尔可夫链之一，具有时齐性、对称性和零漂移。

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2. 非对称随机游走（Asymmetric Random Walk）

• 设：
  $$P(Z_k=+1)=p,P(Z_k=-1)=1-p=q,p\ne \frac{1}{2}$$
• 存在漂移项：期望每步变化为 $ E[Z_k] = p - q \ne 0 $

👉 当 $ p > \frac{1}{2} $：趋势向右；反之向左。

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3. 多维随机游走

例如在二维格子 $ \mathbb{Z}^2 $ 上：

• 每步向上、下、左、右移动一格，各以概率 $ \frac{1}{4} $
• 可推广到更高维度

📌 Polya 定理指出：在一维和二维中，对称随机游走是常返的；三维及以上为暂态。

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4. 带吸收壁或反射壁的随机游走

• 吸收壁：一旦到达某状态（如 0），就永远停留 ⇒ 应用于破产问题
• 反射壁：到达边界后被“弹回” ⇒ 建模有限区域内的扩散

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三、数学性质分析

1. 期望与方差

对于简单随机游走（对称或非对称）：
$$E[X_n]=n(p-q),\mathrm{Var}(X_n)=4npq$$

• 对称情形（$ p = q = \frac{1}{2} $）：均值为 0，方差为 $ n $
• 表明：平均偏离程度随 $ \sqrt{n} $ 增长 ⇒ 类似扩散过程

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2. 马尔可夫性与时齐性

• 显然满足马尔可夫性：下一步仅依赖当前状态
• 转移概率不随时间改变 ⇒ 是时齐马尔可夫链

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3. 常返性与暂态性

维度	是否常返
1D 对称	✅ 常返（无限次返回原点）
2D 对称	✅ 常返
≥3D 对称	❌ 暂态（有正概率永不返回）

📌 Polya 定理（1921）：

在 $ d $ 维整数格点上的对称最近邻随机游走，当且仅当 $ d = 1 $ 或 $ 2 $ 时是常返的。

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4. 首达时间与返回概率

定义：

• $ T_0 = \min{n \geq 1 : X_n = 0} $：首次返回原点的时间
• 返回概率：$ f_{00} = P(T_0 < \infty \mid X_0 = 0) $

结果：

• 一维对称游走：$ f_{00} = 1 $ ⇒ 常返
• 但平均返回时间无穷 ⇒ 零常返
• 极限分布不存在（不收敛到平稳分布）

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四、与布朗运动的关系

将离散随机游走进行尺度极限处理，可得到连续过程：

令：
$$W^{(n)}(t)=\frac{1}{\sqrt{n}}{X}_{\lfloor nt\rfloor },t\in [0,1]$$
则根据Donsker定理（函数型中心极限定理），当 $ n \to \infty $ 时，
$$W^{(n)}(\cdot )\Rightarrow B(\cdot )$$
即弱收敛到标准布朗运动（Wiener Process）。

📌 这表明：随机游走是布朗运动的离散逼近。

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五、应用实例

领域	应用方式
物理学	描述气体分子的无规则运动、热传导
金融学	股价路径建模（早期“随机游走假说”认为股价服从随机游走）
计算机科学	图上的随机游走用于PageRank算法、网络爬虫模拟
生态学	动物觅食路径建模
统计推断	MCMC 方法中使用随机游走建议分布（如 Random Walk Metropolis）

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六、扩展形式

扩展类型	特点
几何随机游走	$ X_n = X_{n-1} \cdot e^{Z_n} $，用于股票价格建模（对数收益率为正态）
带漂移的随机游走	$ X_n = X_{n-1} + \mu + \varepsilon_n $，常见于时间序列分析
Lévy 游走	步长服从重尾分布，允许“长跳”，用于异常扩散建模
自避免游走（Self-Avoiding Walk）	不允许重复访问同一节点，用于高分子链建模

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