29、逻辑公式化简实验研究

逻辑公式化简实验研究

在逻辑和计算复杂性的研究中，寻找逻辑公式之间的化简关系是一个重要的问题。本文将探讨如何通过扩展一阶逻辑来解决其局限性，以及如何寻找逻辑公式之间的化简关系，并对不同的求解方法进行实验比较。

1. 扩展一阶逻辑

为了消除一阶逻辑的局限性，我们可以使用各种运算符对其进行扩展。例如，传递闭包运算符允许我们编写形式为 TC[x1, x2.ϕ(x1, x2)](y1, y2) 的公式。这个公式会对 ϕ(x1, x2) 定义的（隐式）关系取传递自反闭包，然后在 (y1, y2) 上进行求值。

以下是一些逻辑和复杂性类之间的著名对应关系：
- NP类 ：由存在二阶逻辑捕获。
- 多项式时间计算 ：当存在线性序关系时，由一阶逻辑通过最小不动点运算符（LFP）扩展捕获。当逻辑中添加计数机制时，线性序的要求可以放宽，带有计数的LFP可以在许多结构类上捕获P，如网格、平面图等。
- 非确定性对数空间（NL） ：传递闭包逻辑（TC）在有序结构上可以捕获所有可在NL中解决的问题。

2. 化简示例

考虑以下两个公式：

Reach := TC[x, y.E(x, y)](s, t)
AllReach := ∀x1, x2 (TC[y, z.E(y, z)](x1, x2))